ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
26
Рис. 10.2
При деформации точки оси балки получают вертикальные перемещения
(прогибы), а поперечные сечения поворачиваются на некоторые углы.
Пусть С произвольная точка оси балки. Прогиб точки С обозначим через
v
, а угол поворота сечения , проходящего через точку С оси балки, как
θ
.
В теории изгиба балок прогибы считаются малыми по сравнению с дли-
ной балки, а квадраты углов поворота малыми по сравнению с единицей.
Прогибы и углы поворота сечений связаны зависимостью
(
)
x
θ
=
x
xv
∂
∂
)(
. (10.1)
Между кривизной оси изогнутой балки, жесткостью и изгибающим мо-
ментом существует зависимость
z
z
EJ
М
=
ρ
1
, (10.2)
где
ρ
1
– кривизна изогнутой оси балки,
z
M – изгибающий момент,
z
EJ – из-
гибная жесткость поперечного сечения.
Формула (10.2) получена в предположении выполнения гипотезы пло-
ских сечений и
справедливости закона Гука при растяжении.
По гипотезе плоских сечений: поперечные сечения, плоские до деформа-
ции, остаются плоскими и после деформации.
Из зависимости (10.2) с использованием исходных гипотез и выражения
для кривизны изогнутой оси балки выводится дифференциальное уравнение
упругой линии
2
2
x
v
∂
∂
=
z
z
EJ
M
. (10.3)
Результат интегрирования дифференциального уравнения для балки
(рис. 10.3), нагруженной различными видами нагрузок, можно представить в
виде универсального уравнения упругой линии.
v
EJ
=
0
vEJ
+
xEJ
0
θ
!4
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)(
4432
dxqcxqbxPaxМ −
+
−
−
−
+
−
+
. (10.4)
I II III IY Y
