Задания для самостоятельной работы по теоретической механике. Статика. Манжосов В.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Примеры решения заданий по определению реакций опор
твердого тела (произвольная система сил)
4.2.1. Определение реакций опор нагруженного вала
Задание: Дана схема нагружения вала, установленного на опорах
(рис. 4.5).
На рис. 4.5, а изображена косозубая шестерня радиусом r, закрепленная на
горизонтальном валу. Вал лежит в двух опорах: упорном подшипнике А и ци-
линдрическом подшипнике В.
Рис.
4.5
В точке К, расположенной в вертикальной плоскости симметрии шестерни,
к ее зубу приложено давление Т со стороны другой шестерни, находящейся с
ней в зацеплении (на рис. 4.5, а сила T и вторая шестерня не изображены). Дав-
ление Т разложено на три составляющие Т
х
, Т
у
и T
z
, которые соответственно
параллельны осям координат х, у и z (начало координат взято в точке А, ось
х направлена вдоль вала, ось z - по вертикали вверх, ось у - 1 так, чтобы вме-
сте с осями х и z была образована правая система координат).
К валу, вращающемуся равномерно, приложена пара сил с вращающим
моментом т
вр
так, что ее моменты относительно осей равны: т
х
= т
вр
,
т
у
= m
z
= 0.
Определить реакции опор А и В и вращающий момент т
вр
. Даны модули
составляющих Т
х
, Т
у
и Т
z
давления Т на зуб шестерни. Размеры указаны на ри-
сунке. Весом шестерни и вала пренебречь.
Решение
Для определения неизвестных реакций опор А и В и вращающего момен-
та т
вр
рассмотрим равновесие вала с сидящей на нем шестерней. Под равнове-
сием вала мы понимаем не только покой, но и его равномерное вращение, упо-
мянутое в условии задачи.
54
К валу и шестерне приложены следующие активные силы, изображенные
на рисунке: три составляющие Т
Х
, Т
У
, T
Z
давления Т и пара сил, момент кото-
рой т
х
= т
вр
требуется определить (в данной задаче момент активной пары
сил неизвестен).
Связями, наложенными на вал, являются две опоры: упорный подшипник
А и подшипник В, мысленно отбросим связи и заменим их действия на вал ре-
акциями. Подшипник В допускает перемещение вала вдоль оси х, поэтому
составляющая реакции вдоль оси х отсутствует, и нам остается изобразить
лишь две составляющие R
BY
и R
BZ
, перпендикулярные к оси вала.
Мы направляем на рис. 4.5, а эти составляющие в сторону возрастания со-
ответствующих координат. Если в действительности направление какой-либо
составляющей противоположно, то ответ окажется отрицательным.
Упорный подшипник А, в отличие от подшипника В, не допускает переме-
щения вала вдоль оси х. Поэтому в точке А мы изображаем все три состав-
ляющие R
AX
, R
AY
, R
AZ
реакции.
Итак, нам предстоит рассмотреть равновесие свободного вала с шестерней
под действием активных сил Т
х
, Т
у
, T
z
и пары сил с моментом т
х
- т
вр
, а так-
же составляющих реакций R
AX
, R
AY
, R
AZ
, R
BY
, R
BZ
. Все эти силы образуют про-
странственную систему сил, для которой надо записать шесть уравнений равно-
весия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести (т
вр
, R
AX
,
RА
У
, RAZ, Rву и R
BZ
), то задача является статически определенной.
Составим уравнения проекций сил на оси декартовых координат х, у, z. Все
силы либо перпендикулярны, либо параллельны этим осям. Поэтому их про-
екции равны нулю или модулю соответствующей силы. Так, силы Т
У
, T
Z
, R
AY
,
RAZ, R
Bу
, RBZ И пара сил перпендикулярны к оси х, и, следовательно, их проек-
ции на эту ось равны нулю. Из проекций на ось х лишь R
AX
и Т
Х
отличны от
нуля, причем обе проекции положительны.
Итак,
55
Аналогично запишем уравнения проекций сил на оси у и z:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Напомним, что проекция пары сил на любую ось равна нулю, ибо главный
вектор пары сил равен нулю.
Переходим к составлению уравнений моментов сил относительно осей х,
у, z. Предварительно заметим, что составление этих уравнений в данной задаче
производится достаточно просто. Действительно, линии действия сил парал-
лельны или пересекают оси координат и, значит, имеют моменты, равные ну-
лю, либо силы лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям и, следова-
тельно, отпадает необходимость в проектировании этих сил на плоскости,
перпендикулярные к осям.

Страницы