Применение ЭВМ в электроэнергетике: Текст лекций. Медведева С.Н. - 29 стр.

                                                                        немногоэкстремальные задачи, т.к. обеспечивается нахождение
                                                                        локальных экстремумов, а не глобального.
                                                                             Релаксационный метод: метод релаксации (ослабления)
                                                                        характеризуется тем, что на каждом шаге или на нескольких шагах
                                                                        итерации производятся приращения той переменной, изменение
      Рис. Траектории поиска экстремума а) без ограничений;             которой дает наибольший результат, т.е. наибольшее уменьшение(min!)
                    б) при наличии ограничений                          ЦФ (модификация покоординатного спуска).
                                                                             М е т о д ш т р а ф н ы х ф у н к ц и й : один из самых распространенных
    Окончанием поиска оптимального значения может служить
                                                                        для оптимизационных нелинейных задач с наличием ограничений. Суть
возрастание ЦФ в некоторой точке поиска минимума или достижение
                                                                        его: свести к задаче нелинейного программирования без ограничений.
заданной точности ЦФi-ЦФi-1≤ ε .                                             Задача: найти минимальное значение ЦФ F(X), где Х={x1,x2,..,xn}
    Модификации метода отличаются выбором шага α. Может быть            при условиях ϕ j ( X ) ≤ b j , j = 1,2.., m, xi ≥ 0, i = 1,2,.., n . Находится
постоянный шаг, может дополнительно на каждом шаге оптимизации
вычисляться шаг из условий обеспечения максимального уменьшения         минимальное значение не F(X), а
ЦФ в заданном направлении (метод с вычислением производной, метод                                 Z(X)=F(X)+H(X),
деления отрезка пополам, метод «золотого сечения» и т.п.). Используют   где H(X) – функция, определенная системой ограничений и называемая
часто совокупность методов выбора шага α: на участках вдали от          штрафной. Ее можно строить различными способами, чаще всего
                                                                                                             m
оптимума шаг постоянный и большой, вблизи предусматривается
возможность его уменьшения.
                                                                                                   H(X ) =   ∑α j ⋅ ϕ j (X ) ,
                                                                                                             j =1
    Оптимизация выполняется только по независимым переменным.
    Преимущество метода в точности нахождения оптимума ЦФ.                                               ⎧0, если b j − ϕ j ( X ) ≥ 0
                                                                        где                   α j (X ) = ⎨                               ,
Недостатки: сложность решения при большом числе переменных,                                              ⎩α j , если b j − ϕ j ( X ) < 0
возможность попасть на локальный экстремум, чувствительность к          а α j <0 – некоторые постоянные числа, весовые коэффициенты.
масштабным преобразованиям.
    Метод наискорейшего спуска: в начальной точке определяем            Точность решения зависит от выбора α. Чем больше α, тем выше
градиент и движемся против этого направления (min!) до тех пор, пока    точность, но при больших значениях α ЦФ начинает носить овражный
по этой линии не достигнем минимума ЦФ. Затем пересчитывается           характер и процесс нахождения минимума замедляется.
градиент и направление меняется. И т.д. Шаг в одном направлении не          Используя штрафную функцию, последовательно переходят от
постоянен, не выбирается.                                               одной точки к другой до тех пор, пока не получат приемлемое решение.
    Метод покоординатного спуска: поиск решения производится            Формула итерационного процесса:
поочередно по каждой переменной, т.е. итерационный процесс                               ⎧          ⎡         i      m     ∂ϕ j ( X ) ⎤ ⎫⎪
                                                                                                                                     i
                                                                              i +1       ⎪      i     ∂F ( X    )
происходит по одной переменной при неизменных других до тех пор,            xk     = max ⎨0; x k + ⎢              + ∑α j                ⎥⎬ .
пока производная ЦФ по выбранной переменной не будет равна 0 или                         ⎪          ⎢   ∂ X k       j =1       ∂ X i    ⎥⎪
                                                                                         ⎩          ⎣                                   ⎦⎭
близка к нему. Затем выбирается другая переменная и т.д.
    Преимущество: не надо решать матричных уравнений (или систему           Из последнего соотношения следует, что если предыдущая точка
уравнений).     Недостаток:     узкая    область     применения     -   находится в области допустимых решений исходной задачи, то второе
                                                                        слагаемое в квадратных скобках равно нулю и переход к последующей