ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ МНО -
ЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ И НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕ -
МЕНЕМ
Определение 1. Случайный процесс
(
)
{
}
,
t
tTξω ∈⊆
!
со значениями в
фазовом пространстве
(
)
,
ΧΒ
называется марковским , если для любого
tT
∈
и любых событий ,
tt
AB
≤≥
∈Α∈Α
справедливо равенство
{
}
{
}
{
}
ttt
PABPAPB
===
∩Α=Α⋅Α
п. н. (1)
,,
ΩΑΡ
- основное вероятностное пространство,
(
)
,
X
Β
- измеримое
пространство, в котором все одноточечные множества измеримы ,
{
}
{
}
{
}
,,,,,,,
tststt
sTstsTsttT
σξσξσξ
≤≥=
Α=∈≤Α=∈≥Α=∈ -
σ
-алгебры ,
порожденные соответствующими семействами случайных величин .
Прежде чем сужать класс рассматриваемых процессов , дадим
Определение 2.Функция
(
)
,,,
stx
ΡΓ
, определенная для
,,,,,
stTstx
∈≤∈ΧΓ∈Β
называется переходной функцией марковского
процесса
(
)
{
}
,
t
tT
ξω ∈
, если :
3
1. М АРКО В С К И Е П РО Ц Е С С Ы С Д И С К РЕ Т Н Ы М М Н О -
Ж Е С Т В О М С О С Т О ЯН И Й И Н Е П РЕ РЫ В Н Ы М В РЕ -
М ЕНЕМ
О пр еделение1. С лучай ны й пр оц есс{ξt (ω ) , t ∈ T ⊆ ! } созначениями в
ф азов ом пр остр анств е ( Χ, Β ) назы в ается м а рков с ким , если длялю бого
t ∈ T и лю бы х собы тий A ∈ Α ≤t , B ∈ Α≥t спр ав е длив ор ав енств о
P { A ∩ B Α =t } =P { A Α =t } ⋅ P { B Α =t } п. н. (1)
Ω, Α, Ρ - основ ноев е
р оятностноепр остр анств о, ( X , Β ) - измер имое
пр остр анств о, в котор ом в сеодноточечны емнож еств а измер имы ,
Α≤t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≤ t} , Α≥t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≥ t} , Α =t = σ {ξt , t ∈ T } - σ -алге
бр ы ,
пор ож денны есоотв етств ую щ ими семей ств ами случай ны х в еличин.
П р еж дечем суж атькласср ассматр ив аемы х пр оц ессов , дадим
О пр еделение2.Ф ункц ия Ρ ( s, t , x, Γ ) , опр еделеннаядля
s, t ∈ T , s ≤ t , x ∈ Χ, Γ ∈ Β, назы в ае тсяп е ре ходной ф ункцие й м а рков с кого
п роце с с а {ξt (ω ) , t ∈ T } , если:
