Электричество и магнетизм. Часть 2. Миловидова А.С - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
Ток
i
является разрядным током конденсатора и в данном случае
показывает, на какую величину уменьшается заряд конденсатора в
единицу времени . Так что с учетом знака в явном виде имеем :
.,
2
2
dt
qd
dt
di
dt
dq
i −=−=
(4)
Подставив (4) в (3), получим
.0
1
2
2
=++ q
LC
dt
dq
L
R
dt
qd
(5)
Итак , закон изменения величины заряда конденсатора к колебательном
контуре удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка.
Для идеального колебательного контура, когда R=0, уравнение (5)
принимает вид
.0
1
2
2
=+ q
LC
dt
qd
(6)
Это уравнение при постоянных L и С аналогично связи между ускорением
колеблющегося тела и смещением х от положения равновесия при
гармоническом колебательном движении:
.0
2
0
2
2
=+ x
xd
ω
(7)
Решая дифференциальное уравнение (6), получим следующий закон
изменения зарядов на пластинах конденсатора:
,cos
00
tqq
ω
=
(8)
где q
0
- максимальное значение заряда , которое определяется из
начальных условий,
LC
1
0
=ω
- собственная (круговая) частота
электрических колебаний. С учетом связи между круговой частотой и
периодом колебаний имеем :
LC
T
12
0
==
π
ω
. (9)
Откуда
LCT π 2 =
. (10)
Данное уравнение (10) называется формулой Томсона.
В реальном колебательном контуре омическое сопротивление R
нельзя свести к нулю. Поэтому в нем электрические колебания всегда
будут затухающими, так как часть энергии будет затрачиваться на
нагревание проводников (Джоулево тепло).
Для осуществления незатухающих электрических колебаний
необходимо обеспечить автоматическую подачу энергии с частотой ,
равной частоте собственных колебаний контура, т.е. необходимо создать
автоколебательную систему. Такой системой незатухающих колебаний
является ламповый генератор. 
                                      30
Т ок i явл яется разрядны м ток ом к онденсатора и в данном случае
пок азы вает, на к ак ую вел ичину уменьш ается заряд к онденсатора в
единицувремени. Т ак что сучетом знак авявном видеимеем:
                      dq           di   d 2q
                   i=− ,              =− 2 .                            (4)
                      dt           dt   dt
П одставив(4) в(3), пол учим
                     d 2 q R dq    1
                         2
                           +     +   q = 0.                             (5)
                     dt      L dt LC
И так , зак он изменения вел ичины заряда к онденсатора к к ол ебател ьном
к онтуре удовл етворяет диф ф еренциал ьному уравнению второго порядк а.
Д л я идеал ьного к ол ебател ьного к онтура, к огда R=0, уравнение (5)
принимаетвид
                            d 2q    1
                               2
                                 +    q = 0.                            (6)
                            dt     LC
Э то уравнение при постоянны х L и С анал огично связи между ускорением
к ол ебл ю щ егося тел а и смещ ением х от пол ожения равновесия при
гармоническом к ол ебател ьном движении:
                         d 2x
                            2
                              + ω 02 x = 0.                             (7)
                         dt
Реш ая диф ф еренциал ьное уравнение (6), пол учим следую щ ий зак он
изменения зарядовнапл астинах к онденсатора:
                           q = q0 cosω 0 t ,                      (8)
где   q0   - мак симал ьное значение заряда, к оторое определ яется из
                                1
начал ьны х условий, ω 0 =              - собственная (к руговая) частота
                                LC
эл ек трических к ол ебаний. С учетом связи между к руговой частотой и
периодом к ол ебаний имеем:
                            2π   1
                     ω0 =      =    .                                   (9)
                            T    LC
     О тк уда                             T = 2π LC .                 (10)
Д анное уравнение(10) назы вается ф ормул ой Т омсона.
       В реал ьном к ол ебател ьном к онтуре омическое сопротивл ение R
нел ьзя свести к нул ю . П оэтому в нем эл ек трические к ол ебания всегда
будут затухаю щ ими, так к ак часть энергии будет затрачиваться на
нагреваниепроводник ов(Д жоул ево тепл о).
       Д л я осущ ествл ения незатухаю щ их эл ек трических к ол ебаний
необходимо обеспечить автоматическую подачу энергии с частотой,
равной частоте собственны х к ол ебаний к онтура, т.е. необходимо создать
авток ол ебател ьную систему. Т ак ой системой незатухаю щ их к ол ебаний
явл яется л амповы й генератор.

Страницы