ВУЗ:
Рубрика:
30
Колебания, происходящие в таком идеальном контуре (R=0),
называются свободными, или собственными, колебаниями контура.
Выведем теперь уравнение, описывающее колебательный процесс в
контуре. Для этого будем считать, что электрические процессы в контуре
квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока
i
одно и то же
в любом месте контура. При этих условиях можно использовать второе правило
Кирхгофа для постоянного тока: в замкнутом контуре разветвленной цепи
алгебраическая сумма э.д.с. источников тока равна алгебраической сумме
произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков этого
контура.
Тогда , выбрав направление обхода контура, показанное на рис.1 стрелкой, в
качестве положительного , получим
U + E
c
= iR, (2)
где
C
q
U =
- напряжение на пластинах конденсатора, ε
С
dt
di
L−=
- э.д.с .
самоиндукции катушки индуктивности. Или
iR
dt
di
L
C
q
=−
. (3)
Ток
i
является разрядным током конденсатора и в данном случае показывает, на
какую величину уменьшается заряд конденсатора в единицу времени . Так что с
учетом знака в явном виде имеем:
.,
2
2
dt
qd
dt
di
dt
dq
i −=−=
(4)
Подставив (4) в (3), получим
.0
1
2
2
=++ q
LC
dt
dq
L
R
dt
qd
(5)
Итак , закон изменения величины заряда конденсатора к колебательном контуре
удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка. Для идеального
колебательного контура, когда R=0, уравнение (5) принимает вид
.0
1
2
2
=+ q
LC
dt
qd
(6)
Это уравнение при постоянных L и С аналогично связи между ускорением
колеблющегося тела и смещением х от положения равновесия при гармоническом
колебательном движении:
.0
2
0
2
2
=+ x
dt
xd
ω
(7)
Решая дифференциальное уравнение (6), получим следующий закон изменения
зарядов на пластинах конденсатора:
30
К о ле бани я, пр о и с х о дящ и е в т ак о м и де ально м к о нт ур е (R=0),
назы вают с яс во бо дны м и , и ли с о бс т ве нны м и , к о ле бани ям и к о нт ур а.
Вы ве де м т е пе р ь ур авне ни е , о пи с ы вающ е е к о ле бат е льны й пр о це с с в
к о нт ур е . Д ля эт о го буде м с чи т ат ь, чт о эле к т р и че с к и е пр о це с с ы в к о нт ур е
к вази с т аци о нар ны . Э т о значи т , чт о м гно ве нно е значе ни е с и лы т о к а i о дно и т о ж е
в любо м м е с т е к о нт ур а. Пр и эт и х ус ло ви ях м о ж но и с по льзо ват ь вт о р о е пр ави ло
К и р х го фа для по с т о янно го т о к а: в зам к нут о м к о нт ур е р азве т вле нно й це пи
алге бр аи че с к ая с ум м а э.д.с . и с т о чни к о в т о к а р авна алге бр аи че с к о й с ум м е
пр о и зве де ни й с и л т о к а на с о пр о т и вле ни я с о о т ве т с т вующ и х учас т к о в эт о го
к о нт ур а.
Т о гда, вы бр ав напр авле ни е о бх о да к о нт ур а, по к азанно е на р и с .1 с т р е лк о й, в
к аче с т ве по ло ж и т е льно го , по лучи м
U + Ec = iR, (2)
где U=
q
C
- напр яж е ни е на плас т и нах к о нде нс ат о р а, ε С
= −L
di
dt
- э.д.с .
с ам о и ндук ци и к ат ушк и и ндук т и вно с т и . И ли
q di
− L = iR . (3)
C dt
Т о к i являе т с я р азр ядны м т о к о м к о нде нс ат о р а и в данно м с лучае по к азы вае т , на
к ак ую ве ли чи ну ум е ньшае т с я зар яд к о нде нс ат о р а в е ди ни цу вр е м е ни . Т ак чт о с
уче т о м знак а в явно м ви де и м е е м :
dq di d 2q
i=− , =− 2 . (4)
dt dt dt
По дс т ави в (4) в (3), по лучи м
d 2 q R dq 1
+ + q = 0. (5)
dt 2 L dt LC
И т ак , зак о н и зм е не ни я ве ли чи ны зар яда к о нде нс ат о р а к к о ле бат е льно м к о нт ур е
удо вле т во р яе т ди ффе р е нци ально м у ур авне ни ю вт о р о го по р ядк а. Д ля и де ально го
к о ле бат е льно го к о нт ур а, к о гда R=0, ур авне ни е (5) пр и ни м ае т ви д
d 2q 1
+ q = 0. (6)
dt 2 LC
Э т о ур авне ни е пр и по с т о янны х L и С анало ги чно с вязи м е ж ду ус к о р е ни е м
к о ле блющ е го с ят е ла и с м е щ е ни е м хо т по ло ж е ни яр авно ве с и япр и гар м о ни че с к о м
к о ле бат е льно м дви ж е ни и :
d 2x
2
+ ω 2
0
x = 0. (7)
dt
Ре шая ди ффе р е нци ально е ур авне ни е (6), по лучи м с ле дующ и й зак о н и зм е не ни я
зар ядо в на плас т и нах к о нде нс ат о р а:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
