Методические указания к лабораторным работам по курсу общей физики (Электричество и магнетизм. Ч.3). Миловидова С.Д - 31 стр.

                                                31
        К оле бания, п роисходящ ие в т ак ом иде альном к онт уре (R=0),
назыв аю т ся св ободным и, или собст в е нным и, к оле баниям и к онт ура.
        В ыв е де м т е п е рь урав не ние , оп исыв аю щ е е к олебат е льный п роц е сс в
к онт уре . Д ля эт ого буде м счит ат ь, чт о эле к т риче ск ие п роц е ссы в к онт уре
к в азист ац ионарны. Эт означит , чт ом гнов е нное значе ние силы т ок а i однои т о
же в лю бом м е ст е к онт ура. П ри эт их услов иях м ожно исп ользов ат ь в т орое
п рав ило К ирхгофа для п ост оянного т ок а: в зам к нут ом к онт уре разв е т в ле нной
ц е п и алге браиче ск ая сум м а э.д.с. ист очник ов т ок а рав на алге браиче ск ой сум м е
п роизв е де ний сил т ок а на соп рот ив ле ния соот в е т ст в ую щ их участ к ов эт ого
к онт ура.
        Тогда, в ыбрав нап рав ле ние обхода к онт ура, п ок азанное на рис.1
ст ре лк ой , в к аче ст в е п оложит е льногоп олучим
                                       U + Εc = iR,                                       (2)

где U =
         C
          q
              - нап ряже ние на п ласт инах к онде нсат ора, С = − L
                                                                     di
                                                                     dt
                                                                        - э.д.с.ε
                                                    q    di
сам оиндук ц ии к ат уш к и индук т ив ност и. И ли   − L = iR .            (3)
                                                    C    dt
Ток i яв ляе т ся разрядным т ок ом к онде нсат ора и в данном случае п ок азыв ае т ,
на к ак ую в е личину ум е ньш ае т ся заряд к онде нсат ора в е диниц у в ре м е ни. Так
чт ос уче т ом знак а в яв ном в иде им е е м :
                              dq                di   d 2q
                           i=− ,                   =− 2 .                                        (4)
                              dt                dt   dt
                                         d 2q       R dq   1
П одст ав ив (4) в (3), п олучим                +        +   q = 0.                              (5)
                                         dt 2       L dt LC
И т ак , зак он изм е не ния в е личины заряда к онде нсат ора к к оле бат е льном
к онт уре удов ле т в оряе т диффе ре нц иальном у урав не нию в т орого п орядк а. Д ля
иде альногок оле бат е льногок онт ура, к огда R=0, урав не ние (5) п риним ае т в ид
                                  d 2q     1
                                        +     q = 0.                                  (6)
                                  dt 2 LC
Эт о урав не ние п ри п ост оянных L и С аналогично св язи м е жду уск оре ние м
к оле блю щ е гося т е ла и см е щ е ние м х от п оложе ния рав нов е сия п ри
                                                       d 2x
гарм ониче ск ом к оле бат е льном дв иже нии:              2
                                                                + ω 02 x = 0.                   (7)
                                                       dt
Р е ш ая диффе ре нц иальное урав не ние (6), п олучим сле дую щ ий зак он изм е не ния
зарядов на п ласт инахк онде нсат ора:           q = q0 cosω 0 t ,                 (8)
где   q0   - м ак сим альное значе ние заряда, к от орое оп ре де ляе т ся из начальных
                      1
услов ий ,    ω0 =          -      собст в е нная    (к ругов ая)      част от а    эле к т риче ск их
                      LC
к оле баний . С уче т ом св язи м е жду к ругов ой част от ой и п е риодом к оле баний
                                 2π      1
им е е м :                 ω0 =      =       .                                  (9)
                                 T       LC