Компьютерное моделирование задач оптимизации. Мироновский Л.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4
достаточные условия экстремума, например, анализируя матрицу
вторых производных. Если эта матрица положительно определен
ная A > 0, то найденное решение – точка минимума, если отрица
тельно определенная A < 0 – точка максимума. В случае неопреде
ленных матриц найденное решение – седловая точка. Если задана
область изменения переменных, то надо еще проверить граничные
точки.
Пример. Рассмотрим задачу отыскания экстремума следующей
функции от трех переменных
y = 2x
1
2
+ 8x
2
2
+ x
3
2
+ 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
– 4x
3
.
Ее матричное описание имеет вид y = X
T
AX + c
T
X, где
1
2
3
221 0
A280, c 0, X .
101 4
x
x
x
12
1212
34
3434
555
34
3434
6
7878
78
Вычисляя производные /
i
yx11 и приравнивая их нулю, получаем
три уравнения:
4x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 0; 16x
2
+ 4x
1
= 0; 2x
3
+ 2x
1
– 4 = 0.
Решение этой системы линейных уравнений имеет вид
x
1
= – 4, x
2
= 1, x
3
= 6.
Матрица вторых производных от функции y равна удвоенной мат
рице А. Матрица А положительно определенная, в чем можно убе
диться, проверяя знаки ее угловых миноров либо находя ее собствен
ные числа (все они положительны: 8,62; 2,17; 0,214). Следователь
но, найденное решение – точка минимума.
Практическое применение метода Ферма требует выполнения двух
типов математических операций:
вычисление частных производных от функции многих переменных;
решение получаемой системы алгебраических уравнений.
Существенную помощь при их выполнении могут оказать пакеты
символьных вычислений, в частности пакет MAPLE.
2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ MAPLE
2.1. Справочная информация
Пакеты символьных вычислений обеспечивают автоматическое
выполнение многих аналитических выкладок. В иностранной лите
ратуре этот класс пакетов обозначается аббревиатурой CAS –

Страницы