Физика твердого тела. Полупроводники, диэлектрики, магнетики. Морозов А.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

72
а) Обменное взаимодействие
Это взаимодействие возникает между тождественными
частицами (в нашем случае – электронами). Волновая функция
двух тождественных фермионов антисимметрична по отношению
к их перестановке. Поскольку она представляет собой
произведение координатной и спиновой частей, то при
перестановке электронов с параллельными спинами спиновая
часть волновой функции остается неизменной, а координатная
часть изменяет
свой знак:
[]
)()()()(
2
1
),(
1221221121
rrrrrr
rrrrrr
ϕϕϕϕϕ
−=
−
, (6.1)
где
)(
1
r
r
ϕ
и )(
22
r
r
ϕ
- координатные части одноэлектронных
волновых функции первого и второго электронов,
соответственно.
Если же спины электронов антипараллельны, то спиновая
часть волновой функции изменяет свой знак, в то время как
координатная часть остается неизменной:
[]
)()()()(
2
1
),(
1221221121
rrrrrr
rrrrrr
ϕϕϕϕϕ
+=
+
, (6.2)
Поскольку координатные части волновых функций пары
электронов в состояниях с суммарным спином S=1 и S=0
отличаются, то отличаются и значения кулоновской энергии их
взаимодействия в этих состояниях:
JАЕ −=
1
для состояния с S=1 и (6.3)
JАЕ +=
2
для состояния с S=0,
где
∫∫
−
=
2
3
1
3
2
22
2
11
210
2
)()(
4
rdrdrr
rr
е
А
rrrr
rr
ϕϕ
πε
, (6.4)
∫∫
∗∗
−
=
2
3
1
3
12212211
210
2
)()()()(
4
rdrdrrrr
rr
е
J
rrrrrr
rr
ϕϕϕϕ
πε
. (6.5)
Таким образом, хотя сам оператор кулоновского
взаимодействия зависит только от зарядов взаимодействующих 
                                              72


       а) Обменное взаимодействие

     Это взаимодействие возникает между тождественными
частицами (в нашем случае – электронами). Волновая функция
двух тождественных фермионов антисимметрична по отношению
к их перестановке. Поскольку она представляет собой
произведение координатной и спиновой частей, то при
перестановке электронов с параллельными спинами спиновая
часть волновой функции остается неизменной, а координатная
часть изменяет свой знак:
                      r r        1
              ϕ − ( r1, r2 ) =      [ϕ1( rr1 )ϕ 2 ( rr2 ) − ϕ1( rr2 )ϕ 2 ( rr1 )],        (6.1)
                                  2
          r                 r
где ϕ 1 ( r ) и ϕ 2 ( r2 ) - координатные части одноэлектронных
волновых         функции            первого              и       второго           электронов,
соответственно.
     Если же спины электронов антипараллельны, то спиновая
часть волновой функции изменяет свой знак, в то время как
координатная часть остается неизменной:
                  r r          1
            ϕ + ( r1 , r2 ) =     [ϕ1 ( rr1 )ϕ 2 ( rr2 ) + ϕ1 ( rr2 )ϕ 2 ( rr1 )],        (6.2)
                                2
     Поскольку координатные части волновых функций пары
электронов в состояниях с суммарным спином S=1 и S=0
отличаются, то отличаются и значения кулоновской энергии их
взаимодействия в этих состояниях:
                        Е1 = А − J для состояния с S=1 и                                  (6.3)
                        Е 2 = А + J для состояния с S=0,
где
                              е2               r 2          r 2 3r 3r
             А= ∫∫              r r ϕ1 ( r1 ) ϕ 2 ( r2 ) d r1d r2 ,                       (6.4)
                         4πε 0 r1 − r2
                 е2       ∗ r    ∗ r          r         r 3r 3r
     J = ∫∫       r r ϕ1 ( r1 )ϕ 2 ( r2 )ϕ1 ( r2 )ϕ 2 ( r1 )d r1d r2 . (6.5)
            4πε 0 r1 − r2
     Таким образом, хотя сам оператор кулоновского
взаимодействия зависит только от зарядов взаимодействующих

Страницы