ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
63
Решение уравнения (1) можно представить в виде
ueS
t
δ
−
= , (2)
где
u = u(t).
Чтобы определить вид функции
u(t) вычислим первую и вторую
производные выражения (2) и подставим их в (1)
.)(0
22
0
=−+ uu
δω
Интерес представляет случай, когда
0
22
0
>−
δω
. Введём обозна-
чение
22
0
2
δωω
−=
. (3)
Тогда получаем дифференциальное уравнение
0
2
=+ uu
ω
,
аналогичное дифференциальному уравнению свободных незатухающих
колебаний.
Если затухание невелико и выполняется условие
22
0
δω
>> , то бу-
дут происходить колебания с частотой ω по закону )cos(
00
ϕ
ω
+
=
tAu .
Следовательно, решение уравнения (1) имеет вид
)cos(
00
ϕω
δ
+
−
= t
t
eAS , (4)
где
A =
t
eA
δ
−
0
(5)
– амплитуда затухающих колебаний, A
0
– начальная амплитуда.
Зависимость (4) показана на рис. 1 сплошной линией, а зависи-
мость (5) – штриховыми линиями. Из уравнения (4) следует, что систе-
ма будет совершать колебания с частотой ω.
)cos(
0
ϕ+ω=
δ−
teAS
t
t
eAA
δ−
=
0
t
eAA
δ−
−=
0
T
t
S, A
A
0
-A
0
Рис. 1
64
Строго говоря, затухающие колебания не являются периодиче-
скими ввиду того, что затухание нарушает периодичность колебаний.
Однако если затухание мало и выполняется условие
22
0
δω
>> , то можно
условно использовать понятия периода и частоты затухающих колеба-
ний. Период затухающих колебаний
T (см. рис. 1) равен времени между
двумя последующими максимумами колеблющейся величины. При ма-
лых затуханиях можно считать, что период колебаний остаётся посто-
янным. Период затухающих колебаний
22
0
22
δω
π
ω
π
−
==T
.
При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих
колебаний
T и при δ = ω
0
обращается в бесконечность. Это означает, что
при δ ≥ ω
0
движение системы не будет колебательным. Такие процессы
называются апериодическими.
Если
A(t) и A(t + T) – амплитуды двух последовательных колеба-
ний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то
отношение
T
e
TtA
tA
δ
=
+ )(
)(
называется декрементом затухания, а его ло-
гарифм
T
TtA
tA
δΘ
=
+
=
)(
)(
ln – логарифмическим декрементом затухания.
Важной характеристикой колебательной системы является доб-
ротность
Q – безразмерная величина, равная произведению 2π на отно-
шение энергии
W(t) колебаний системы в произвольный момент време-
ни
t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T, т. е. за
один период колебания
)()(
)(
TtWtW
tW
Q
+−
=
π
2 .
Поскольку энергия
W(t) пропорциональна квадрату амплитуды
колебаний
A(t), то
δβ
ππ
π
2222
2
1
2
1
2
2
−−
−
=
−
=
+−
=
eeTtAtA
tA
Q
T
)()(
)(
.
При малых значениях логарифмического декремента затухания
(δ << 1) (1 – e
-2δ
≈ 2δ) добротность колебательной системы
δ
ω
δ
π
Θ
π
2
0
0
===
T
Q
(6)
(
T принято равным T
0
, так как затухание невелико (
22
0
δω
>> )).
Решение уравнения (1) можно представить в виде Строго говоря, затухающие колебания не являются периодиче-
S =e −δt u , (2) скими ввиду того, что затухание нарушает периодичность колебаний.
где u = u(t). Однако если затухание мало и выполняется условие ω 02 >> δ 2 , то можно
Чтобы определить вид функции u(t) вычислим первую и вторую условно использовать понятия периода и частоты затухающих колеба-
производные выражения (2) и подставим их в (1) ний. Период затухающих колебаний T (см. рис. 1) равен времени между
u + (ω 02 − δ 2 )u = 0. двумя последующими максимумами колеблющейся величины. При ма-
Интерес представляет случай, когда ω02 − δ 2 > 0 . Введём обозна- лых затуханиях можно считать, что период колебаний остаётся посто-
2π 2π
чение янным. Период затухающих колебаний T = = .
ω ω 02 − δ 2
ω 2 = ω 02 − δ 2 . (3)
Тогда получаем дифференциальное уравнение При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих
u + ω 2u = 0 , колебаний T и при δ = ω0 обращается в бесконечность. Это означает, что
аналогичное дифференциальному уравнению свободных незатухающих при δ ≥ ω0 движение системы не будет колебательным. Такие процессы
колебаний. называются апериодическими.
Если A(t) и A(t + T) – амплитуды двух последовательных колеба-
Если затухание невелико и выполняется условие ω 02 >> δ 2 , то бу-
ний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то
дут происходить колебания с частотой ω по закону u = A0 cos(ωt + ϕ 0 ) . A(t )
отношение = eδT называется декрементом затухания, а его ло-
Следовательно, решение уравнения (1) имеет вид A(t + T )
S = A e −δt cos(ωt + ϕ ) , (4) A(t )
0 0 гарифм Θ = ln = δT – логарифмическим декрементом затухания.
где A(t + T )
A = A0 e −δt (5) Важной характеристикой колебательной системы является доб-
– амплитуда затухающих колебаний, A0 – начальная амплитуда. ротность Q – безразмерная величина, равная произведению 2π на отно-
Зависимость (4) показана на рис. 1 сплошной линией, а зависи- шение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент време-
мость (5) – штриховыми линиями. Из уравнения (4) следует, что систе- ни t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T, т. е. за
ма будет совершать колебания с частотой ω. W (t )
один период колебания Q = 2π .
W (t ) − W (t + T )
S, A S = A0 e − δt cos(ωt + ϕ) Поскольку энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды
A = A0 e − δt A2 (t ) 2π 2π
колебаний A(t), то Q = 2π 2 = − 2 βT
= .
A0 A (t ) − A (t + T ) 1 − e
2
1 − e − 2δ
При малых значениях логарифмического декремента затухания
T
(δ << 1) (1 – e-2δ ≈ 2δ) добротность колебательной системы
t π π ω
Q= = = 0 (6)
-A0 Θ δT 2δ
0
A = − A0 e − δt (T принято равным T0, так как затухание невелико ( ω 02 >> δ 2 )).
Рис. 1
63 64
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
