Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 16 стр.

член, либо как некоторое кратное этого вектора, например      [ωx ωy ωz ω]
, где ω - произвольное число.
        Точку в однородных координатах можно обозначить строчными
буквами [x y z ω] , это та же самая точка, поскольку ее координаты Χ,Υ,Ζ
всегда можно найти, разделив их на однородный член ω, т. е.
                      Χ=x/ω,        Υ=y/ω,         Ζ = z / ω.
        Таким образом, действительные координаты точки Χ, Υ, Ζ
получаются делением компонент вектора-строки на его четвертый
компонент.
        Пример 1. Уравнение прямой Ax + By = C в матричной форме
                                            ⎡ A ⎤
                  ⎡ A⎤
запишется [ x y ] ⎢ ⎥ = C или [x y 1     ] ⎢⎢ B ⎥⎥ = 0 . Без учета знака С запишем:
                  ⎣ B⎦                      ⎢⎣− C ⎥⎦
           ⎡ A⎤                                                                ⎡ A⎤
[ x y ω ] ⎢⎢ B ⎥⎥ = 0 . Назовем [ x y 1 ] - матрицей координат точек и ⎢⎢ B ⎥⎥ -
           ⎢⎣C ⎥⎦                                                              ⎢⎣C ⎥⎦
матрицей координат линий.
       Пример 2. Уравнение двух прямых x + y = 1 и 3x - 5y = 0 можно
записать в следующем виде:
                                                            ⎡1    3⎤
                      ⎡1 3 ⎤
               [ x y ]⎢     ⎥ = [ 10 ]       или            ⎢
                                                   [x y 1 ] ⎢ 1 − 5⎥⎥ = [ 0 0 ] .
                      ⎣1 − 5⎦                               ⎢⎣− 1 0 ⎥⎦
Получим матрицу 3х2 , которую трудно обращать.                                Проведем
преобразование , не нарушающее это равенство , тогда
                                       ⎡1    3 0⎤
                                       ⎢
                             [ x y ω ] ⎢ 1 − 5 0⎥⎥ = [ x y ω ].
                                       ⎢⎣− 1 0 1⎥⎦
Для новой квадратной матрицы легко найти обратную матрицу.
      Однородные координаты и матричная запись позволяют сделать
уравнения более симметричными и облегчают решение многих задач на
ЭВМ.
      Пример 3. Параболу x = y2 можно представить в параметрическом
виде уравнением x = u2 . где y = u . Любую точку на этой параболе можно
представить в матричной форме уравнением:

                                                ⎡1 0 0⎤
                          [ x y 1 ] = [ u u 1] ⎢⎢0 1 0⎥⎥ = [ u2 u 1].
                                         2

                                                ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Матрица 3х3 является матрицей преобразования исходной кривой в другие
кривые. К этой матрице преобразования можно добавлять матрицы
масштабирования , сдвига , поворота и т. д.