Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 20 стр.

                   1.7 Сглаживающая сплайн функция

     В практических задачах (результаты эксперимента, измерений)
некоторая функция у(х) задается в отдельных точках, где известны ее
приближенные значения. Тогда применение обычной интерполяции
кубическими сплайнами приводит к существенным ошибкам.

              у




                                                                             x
                  Рис. 1.9 Аппроксимация заданных точек.

 Если погрешности исходных данных относительно велики, то это крайне
неблагоприятно влияет на поведение интерполяционного сплайна и
особенно его производных, их график имеет резко выраженные осцилляции.
В таком случае строят сплайн, проходящий вблизи заданных значений, но
более «гладкий», чем интерполяционный (рис.1.9). Такой сплайн называется
сглаживающим, а процедура его построения - сглаживанием.
      В работах Шенберга, Райнша, Завьялова и др. эта задача сглаживания
сформулирована как задача о минимизации функционала, в качестве
которого используется интеграл от квадрата второй производной, а в
качестве величины, ограничивающей возможное смещение функций в
узлах, берется сумма квадратов уклонения с различными весовыми
множителями. Было предложено строить сглаживающий сплайн из условия
минимизации функционала:
                     b              N
                                          1
            Ф(u) = ∫ ( u ′′ ) 2 dx + ∑       [ u( x i ) − y i ] 2 .                      (1.31)
                     a             i =0   Ri
Здесь Ri > 0 - некоторые весовые множители, определяющие относительный
вес, согласовывающий сглаживание и аппроксимацию; u (х) - дважды
непрерывно дифференцируемые функции.
                                                                      b

     Так как кубический сплайн минимизирует                           ∫ ( u ′′ ) dx   (см. 1.9), то
                                                                              2

                                                                      a

естественно искать решение в классе кубических сплайнов.
      В задачах интерполирования большой выбор граничных условий
использовался для того, чтобы возможно лучше приблизить заданную
функцию. Здесь же известны лишь приближенные значения функции в
узлах со случайными ошибками. Поэтому можно обойтись меньшим числом
типов граничных условий. Будем предполагать, что
            s ′′ (а) = s ′′ (b) = 0                        (1.32)