Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

i = 1,2,...,N-2
c
i
=
1
12
1
hh
R
ii
i
++
+
; i = 1,2,...,N-3; F
i
= ()
yy
h
yy
h
ii
i
ii
i
+
+
−
−
−
−
1
1
1
.
Если весовые множители (R
0
, R
1
,..., R
N
) известны, то после решения
пятидиагональной системы (1.39) методом прогонки (когда R
i
малы) или
методом немонотонной прогонки (при больших значениях R
i
) и
определения коэффициентов M
i
значения сглаживающей функции в узлах
находятся из соотношения (1.36).
При R
i
= 0 получаем из (1.39) систему уравнений для определения
коэффициентов интерполяционного кубического сплайна. Отсюда следует,
что чем точнее значение y
i
в узлах сетки, тем меньше должны быть
величины весовых множителей R
i
. Если при сглаживании возникает
необходимость закрепить точку с номером k, то для этого надо потребовать,
чтобы R
k
= 0.
При сглаживании обычно известны ошибки в определении значений
y
i
, т.е. задаются неравенства
|
s(x
i
) - y
i
| ≤δ
i
(i = 0,1,...,N). (1.41)
Для полного решения задачи сглаживания было предложено строить
интерполяционный процесс для определения R
i
. Обозначив
E
i
= s(x
i
) - y
i ,
(1.42)
из (1.36) и (1.41) получим
R
i
=
E
LL
i
i
i
i
≤
δ
. (1.43)
В соответствии с (1.43) построим интерполяционный процесс для
определения R
i
, используя следующую формулу:
R
i
(j+1)
=
δ
i
i
j
L
()
, (1.44)
где j - номер итерации.
Для получения начального приближения естественно положить
R
i
(0)
= 0 и построить кубический сплайн, проходящий через заданные точки.
Ясно, что если L
i
(j)
= 0, то R
i
(j+1)
= 0.
Можно показать, что итерации по формуле (1.44) сходятся.
Действительно, перепишем (1.44) следующим образом:
R
i
(j+1)
= R
i
(j)
δ
i
i
j
i
j
RL
() ()
= R
i
(j)
δ
i
i
j
E
()
. (1.45)
Отсюда видно, что если при j-й итерации для i-й точки неравенство
(1.41) не выполнено ( |E
i
(j)
| >
δ
i
), то R
i
(j+1)
< R
i
(j)
, т.е. следующая (j + 1)-я
итерация уменьшает весовой множитель R
i
. Это способствует уменьшению
Е
i
. С другой стороны, если на j-й итерации |E
i
(j)
| < δ
i
и L
i
(j)
≠
0, то
множитель R
i
на следующей итерации увеличивается, что способствует
более полному использованию «коридора» (1.41) в целях обеспечения
большей гладкости сплайна. 
                                               i = 1,2,...,N-2
                  1                                                       y i +1 − yi y i − yi −1
      ci =                Ri +1 ;        i = 1,2,...,N-3;        Fi = (               −           ).
             hi +1 hi + 2                                                      hi + 1     hi
       Если весовые множители (R0, R1,..., RN) известны, то после решения
пятидиагональной системы (1.39) методом прогонки (когда Ri малы) или
методом немонотонной прогонки (при больших значениях Ri) и
определения коэффициентов Mi значения сглаживающей функции в узлах
находятся из соотношения (1.36).
       При Ri = 0 получаем из (1.39) систему уравнений для определения
коэффициентов интерполяционного кубического сплайна. Отсюда следует,
что чем точнее значение yi в узлах сетки, тем меньше должны быть
величины весовых множителей Ri. Если при сглаживании возникает
необходимость закрепить точку с номером k, то для этого надо потребовать,
чтобы Rk = 0.
       При сглаживании обычно известны ошибки в определении значений
yi, т.е. задаются неравенства
             | s (xi) - yi | ≤ δ i (i = 0,1,...,N).               (1.41)
       Для полного решения задачи сглаживания было предложено строить
интерполяционный процесс для определения Ri. Обозначив
                      Ei = s (xi) - yi ,                          (1.42)
из (1.36) и (1.41) получим
                              E     δ
                      Ri = i ≤ i .                                (1.43)
                                    Li         Li
     В соответствии с (1.43) построим интерполяционный процесс для
определения Ri , используя следующую формулу:
                            δ
                  Ri(j+1) = (i j ) ,                      (1.44)
                                          Li
где j - номер итерации.
       Для получения начального приближения естественно положить
  (0)
Ri = 0 и построить кубический сплайн, проходящий через заданные точки.
Ясно, что если Li(j) = 0, то Ri(j+1) = 0.
       Можно показать, что итерации по формуле (1.44) сходятся.
Действительно, перепишем (1.44) следующим образом:
                              δ                   δi
            Ri(j+1) = Ri(j) ( j ) i ( j ) = Ri(j)  ( j)
                                                        .    (1.45)
                                     Ri        Li           Ei
      Отсюда видно, что если при j-й итерации для i-й точки неравенство
(1.41) не выполнено ( |Ei(j) | > δ i ), то Ri(j+1) < Ri(j) , т.е. следующая (j + 1)-я
итерация уменьшает весовой множитель Ri . Это способствует уменьшению
Еi. С другой стороны, если на j-й итерации |Ei(j) | < δ i и Li(j) ≠ 0, то
множитель Ri на следующей итерации увеличивается, что способствует
более полному использованию «коридора» (1.41) в целях обеспечения
большей гладкости сплайна.

Страницы