Электродинамика. Нетребко Н.В - 314 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Приложение
314
Формулы векторного анализа.
В данном пособии приняты следующие обозначения:
скалярное произведение
( )
a b
r
r
,
( , )
a b
r
,
a b
r
r
;
векторное произведение
a b
r
r
,
,
a b
r
.
Во всех формулах , ,
a b c
−
r r
векторные функции координат,
p
−
r
постоянный вектор,
ϕ ψ
−
скалярные функции координат.
1.
Смешанное произведение:
(
)
[ ]
(
)
(
)
,[ , ] , , ,[ , ]
a b c b c a c a b
= =
r r r
r r r r r r
.
Двойное векторное произведение:
[ ,[ , ]] ( , ) ( , )
a b c b a c c a b
= ⋅ − ⋅
r r r
r r r r r r
.
Дифференциалы:
(
)
(
)
(
)
, , ,
d a b da b a db
= +
r r r
r r r
;
[ , ] [ , ] [ , ]
d a b da b a db
= +
r r r
r r r
.
2.
Оператор Гамильтона (оператор “набла”):
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
r
r r
.
( )
,
x y z
a a a a
x y z
∂ ∂ ∂
∇ ≡ + +
∂ ∂ ∂
r
r
;
grad
ϕ ϕ
∇ =
;
(
)
,
div a a
= ∇
r r
;
,
rot a a
= ∇
r r
.
3.
0
div rot a
=
;
0
rot grad
=
;
div grad
ϕ ϕ
= ∆
;
(
)
grad grad grad
ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ
⋅ = + ;
(
)
(
)
,
div a grad a div a
ϕ ϕ ϕ
= +
r r r
;
[
]
( ) ,rot a rota a
ϕ ϕ ϕ
= − ∇
r r r
;
( ) ( , )
div grad grad grad
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= ∆ +
;
(
)
( ) ( ) 3 ( )
div r r r r r
ϕ ϕ ϕ
′
⋅ = +
; 
314                                                                                             Приложение




                                 Формулы векторного анализа.

         В данном пособии приняты следующие обозначения:
                            rr       r r         rr
скалярное произведение (a b ) , (a , b ) , a b ;
                             rr       r r
векторное произведение  a b  ,  a , b  .
                                r r r
         Во всех формулах a , b , c − векторные функции координат,
 r
 p − постоянный вектор, ϕ , ψ − скалярные функции координат.

                                                    r            r                         r
1. Смешанное произведение:                    ( ar,[b , cr]) = (b , [cr, ar ]) = ( cr,[ar, b ]) .
                                    r r r          r r r r r r
   Двойное векторное произведение: [a ,[b , c ]] = b ⋅ (a , c ) − c ⋅ (a , b ) .
                       r r     r r     r r             r r          r r          r r
                                     ( ) (              ) (          )
   Дифференциалы: d a , b = da , b + a , db ; d [a , b ] = [da , b ] + [a , db ] .

                                           r r ∂ r ∂ r ∂
2. Оператор Гамильтона (оператор “набла”): ∇ = i    + j +k    .
                                                 ∂x    ∂y  ∂z
                 r              ∂       ∂       ∂                           r
            ( ar, ∇ ) ≡ a   x
                                ∂x
                                   + ay
                                        ∂y
                                           + az
                                                ∂z
                                                   ;                        ∇ϕ = grad ϕ ;

                r   r r                                                         r     r r
                     (
            div a = ∇, a ;       )                                          rot a = ∇, a  .

           r
3. div rot a = 0 ;                               rot grad ϕ = 0 ;
      div gradϕ = ∆ϕ ;

      grad (ϕ ⋅ψ ) = ψ gradϕ + ϕ gradψ ;
             r               r           r
      div (ϕ a ) = ( gradϕ , a ) + ϕ div a ;
             r          r r
      rot (ϕ a ) = ϕ rota − [ a , ∇ϕ ] ;

      div (ϕ grad ψ ) = ϕ∆ψ + ( grad ϕ , grad ψ ) ;
                    r
      div (ϕ (r ) ⋅ r ) = ϕ ′(r ) r + 3ϕ (r ) ;

Страницы