Электродинамика. Нетребко Н.В - 316 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Приложение
316
[
]
3
,
p r
p
rot
r
r
=
r r
r
;
)
[
]
,
rot f a f rot a grad f a
= +
r r r
;
)
( ) 0
rot f r r
⋅ =
r
;
5. Интегральные теоремы
5.1. Формула Остроградского-Гаусса:
S V
a dS diva dV
=
∫∫ ∫∫∫
r
r r
,
где
S
−
кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем
V
, векторное поле
a
r
непрерывно дифференцируемо в области
V S
+
,
n
−
r
внешняя нормаль к поверхности
S
,
)
n
adS a n dS a dS
= =
r
r r r
.
Частные случаи:
S V
dS dV
n
ϕ
ϕ
∂
= ∆
∂
∫∫ ∫∫∫
,
( , )
S V V
dS dV dV
n
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∂
= ∆ + ∇ ∇
∂
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
r r
,
ϕ
−
дважды непрерывно дифференцируемая функция в области
V S
+
.
Следствия:
S V
n dS dV
ϕ ϕ
= ∇
∫∫ ∫∫∫
r
;
[
]
,
l S
dl n dS
ϕ ϕ
= ∇
∫ ∫∫
r
r
.
5.2. Формула Стокса. Если векторное поле
a
r
непрерывно
дифференцируемо в односвязной области
D
, а
S
−
произвольная
кусочно-гладкая поверхность в
D
, ограниченная контуром L, то
( , )
L S
a dl rota dS
=
∫ ∫∫
r
r
r r
,
где
n
−
r
единичный вектор положительной нормали к
S
, т.е. той, из
конца которой обход по контуру
L
виден совершающимся против
часовой стрелки. 
316                                                                                             Приложение
             r      r r
           p  [ p, r ]
      rot   = 3 ;
          r        r
               r          r              r                                  r
      rot ( f a ) = f rot a + [ grad f , a ] ;               rot ( f (r ) ⋅ r ) = 0 ;


5. Интегральные теоремы

  5.1. Формула Остроградского-Гаусса:
           r r           r
        ∫∫ a dS = ∫∫∫ diva dV ,
             S            V

  где S − кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем
                      r
  V , векторное поле a непрерывно дифференцируемо в области V + S ,
   r                                     r r    rr
  n − внешняя нормаль к поверхности S , adS = ( a n ) dS = an dS .
  Частные случаи:
                 ∂ϕ
             ∫∫ ∂n dS = ∫∫∫ ∆ϕ dV ,
             S                V


                  ∂ϕ                                     r     r
             ∫∫ ϕ ∂n dS = ∫∫∫ ϕ∆ϕ dV + ∫∫∫ (∇ϕ , ∇ϕ ) dV ,
             S                    V              V
      ϕ − дважды непрерывно дифференцируемая функция в области V + S .

                                          r                                     r           r
  Следствия:                          ∫∫ n ϕ dS = ∫∫∫ ∇ϕ dV ; ∫ ϕ dl = ∫∫ [ n, ∇ϕ ] dS .
                                      S              V                   l              S

                                                        r
  5.2. Формула Стокса. Если векторное поле a непрерывно
  дифференцируемо в односвязной области D , а S − произвольная
  кусочно-гладкая поверхность в D , ограниченная контуром L, то
          r r              r r
       ∫ (a, dl ) = ∫∫ rot a dS ,
             L            S
       r
  где n − единичный вектор положительной нормали к S , т.е. той, из
  конца которой обход по контуру L виден совершающимся против
  часовой стрелки.

Страницы