Электродинамика. Нетребко Н.В - 318 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Приложение
318
Векторное поле называется соленоидальным
,
если
0
div a
=
r
. Для
соленоидального поля существует векторный потенциал: такое поле c ,
что
a rot c
=
r r
.
Любое векторное поле можно представить в виде суммы
потенциального и соленоидального:
a b c
= +
r
, где
0
rot b
=
r
и
0
div c
=
r
,
причем
b
r
определяется с точностью до градиента некоторой функции, а
c – с точностью до ротора некоторого векторного поля.
Решение уравнения Пуассона
f
ϕ
∆ =
,
0
ϕ
∞
=
:
1 ( )
( )
4
f r
r dV
r r
ϕ
π
′
′
= −
′
−
∫
r r
.
Решение волнового уравнения
2
2 2
1
f
c t
ϕ
ϕ
∂
∆ − =
∂
,
0
ϕ
∞
=
(с=const):
2
12
1 ( , )
( , )
4
f r t
r t dV
r
ϕ
π
′ ′
=
∫
,
где
c
r
tt
12
' −= .
7. Часто встречающиеся интегралы.
2 2
0
0
1
arctg
2
dx x
a a a
x a
π
∞
∞
= =
+
∫
;
(
)
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
= + ±
±
∫
;
( )
3 / 2 2
2 2
2 2
1dx x
a
x a
x a
=
+
+
∫
;
( )
3 / 2
2 2
2 2
1x dx
x a
x a
= −
+
+
∫
;
( )
( )
( )
1
2 2
/ 2
2 2
1
1
2
2
n n
n
dt
I n a z a z
az n
a z azt
− −
−
= = − − +
−
+ −
∫
. 
318                                                                                                                          Приложение
                                                                      r
                   Векторное поле называется соленоидальным, если div a = 0 . Для
  соленоидального поля существует векторный потенциал: такое поле c ,
      r       r
  что a = rot c .
       Любое векторное поле можно представить в виде суммы
                                     r r r              r           r
  потенциального и соленоидального: a = b + c , где rot b = 0 и div c = 0 ,
           r
  причем b определяется с точностью до градиента некоторой функции, а
      c – с точностью до ротора некоторого векторного поля.
           Решение уравнения Пуассона ∆ϕ = f , ϕ∞ = 0 :

                                      1          f (r ′)
                   ϕ (r ) = −
                                     4π     ∫ rr − rr′ dV ′ .
                                                                                             1 ∂ 2ϕ
                   Решение волнового уравнения ∆ϕ −                                                   = f , ϕ∞ = 0 (с=const):
                                                                                             c 2 ∂t 2
                                      1          f (r ′, t ′)
                   ϕ (r , t ) =
                                     4π     ∫       r12
                                                              dV2 ,

                               r12
  где t ' = t −                    .
                                c


7. Часто встречающиеся интегралы.

      ∞                                                  ∞
            dx        1        x     π                                                             dx
      ∫0 x 2 + a 2 =  a arctg a  = 2a ;
                                    0
                                                                                        ∫    x ±a    2       2
                                                                                                                        (
                                                                                                                    = ln x + x 2 ± a 2 ; )
                    dx                  1                x                                               x dx                    1
      ∫                   2 3/ 2
                                    =
                                        a2
                                                                   ;                    ∫                   2 3/ 2
                                                                                                                      =−             ;
          (x   2
                   +a      )                         2
                                                   x +a        2
                                                                                            (x   2
                                                                                                     +a         )           x + a2
                                                                                                                             2



                      1
                                            dt                              1        a − z 2− n − a + z 2 − n  .
      I (n) =         ∫                                      n/2
                                                                   =
                                                                       az ( n − 2 )                           
                      −1   (a   2
                                    + z − 2azt )
                                        2

Страницы