ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приложение
320
Цилиндрическая система координат
( , , )
z
ρ ϕ
z z
a a e a e a e
ρ ρ ϕ ϕ
= + +
r r r r
;
cos , sin ,
x y z z
ρ ϕ ρ ϕ
= = =
Элемент дуги
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
dl d d dz
ρ ρ ϕ
= + +
Элемент объема
dV d d dz
ρ ρ ϕ
=
Единичные векторы вдоль координатных линий
cos sin , sin cos ,
z
e i j e i j e k
ρ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = − + =
r
r r r r
r r r
Градиент скалярного поля
1
z
f f f
grad f e e e
z
ρ ϕ
ρ ρ ϕ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r r r
Дивергенция векторного поля
1 1
( )
z
a
a
div a a
z
ϕ
ρ
ρ
ρ ρ ρ ϕ
∂
∂
∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
Оператор Лапласа
2 2
2 2 2
1 1
( )
f f f
f
z
ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂
∂ ∂
Некоторые частные решения уравнения Лапласа
0
f
∆ =
:
ln
f
R
ρ
(поле заряженной нити)
1 1
z
z
e e e
rot a
z
a a a
ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ρ
ρ ϕ
ρ
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
r r r
r
Элементарная работа векторного поля
(
)
A a dl
∆ =
v
v
z
A a d a d a dz
ρ ϕ
ρ ρ ϕ
∆ = + +
Поток векторного поля
(
)
∫∫∫∫
===Φ
SS
dSnaSda ,
z
S
a d dz a d dz a d d
ρ ϕ
ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ
= + +
∫∫
320 Приложение
Цилиндрическая система координат ( ρ , ϕ , z )
r r r r
a = aρ eρ + aϕ eϕ + az ez ; x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z
Элемент дуги (dl )2 = (d ρ ) 2 + ( ρ dϕ ) 2 + (dz ) 2
Элемент объема dV = ρ d ρ dϕ dz
Единичные векторы вдоль координатных линий
r r r r r r r r
eρ = cos ϕ i + sin ϕ j , eϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j , ez = k
∂f r 1 ∂f r ∂f r
Градиент скалярного поля grad f = eρ + eϕ + ez
∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
r 1 ∂ 1 ∂aϕ ∂az
Дивергенция векторного поля div a = ( ρ aρ ) + +
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
Оператор Лапласа
1 ∂ ∂f 1 ∂2 f ∂2 f
∆f = (ρ ) + 2 +
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
Некоторые частные решения уравнения Лапласа ∆f = 0 :
ρ
f ln (поле заряженной нити)
R
1r r 1r
eρ eϕ ez
ρ ρ
r ∂ ∂ ∂
rot a =
∂ρ ∂ϕ ∂z
aρ ρ aϕ az
v v
Элементарная работа векторного поля ∆A = a dl ( )
∆A = aρ d ρ + ρ aϕ dϕ + az dz
Поток векторного поля Φ = ∫∫ ad S = ∫∫ (a, n)dS =
S S
= ∫∫ aρ ρ dϕ dz + aϕ d ρ dz + az ρ d ρ dϕ
S
