ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приложение
321
Сферическая
система координат
( , , )
r
ϑ ϕ
r r
a a e a e a e
ϕ ϕ ϑ ϑ
= + +
r r r r
;
sin cos , sin sin , cos
x r y r z r
ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ
= = =
Элемент дуги
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) sin ( )
dl dr r d r d
ϑ ϑ ϕ
= + +
Элемент объема
2
sin
dV r dr d d
ϑ ϑ ϕ
=
Единичные векторы вдоль координатных линий
cos sin sin sin cos
r
e i j k
ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ
= + +
r
r r
r
,
cos cos sin cos sin
e i j k
ϑ
ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ
= + −
r
r r
r
, sin cos
e i j
ϕ
ϕ ϕ
= − +
r r
r
Градиент скалярного поля
1 1
sin
r
f f f
grad f e e e
r r r
ϑ ϕ
ϑ ϑ ϕ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r r r
Дивергенция векторного поля
2
2
1 1 1
( ) ( sin )
sin sin
r
a
div a r a a
r r rr
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ ϕ
∂
∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
Оператор Лапласа
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
( ) (sin )
sin sin
f f f
f r
r rr r r
ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
∂
Некоторые частные решения уравнения Лапласа
0
f
∆ =
:
1
f
r
(поле точечного заряда);
3 2
( ; ) cosp r p
f
r r
ϑ
=
r r
(поле диполя);
cos
f pr pz
ϑ
=
(однородное поле)
2
1 1 1
sin
sin
sin
r
r
e e e
r r
r
rot a
r
a r a r a
ϑ ϕ
ϑ ϕ
ϑ
ϑ
ϑ ϕ
ϑ
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
r r r
r
Элементарная работа векторного поля
(
)
A adl
∆ =
v
v
sin
r
A a dr a r d ra d
ϕ ϑ
ϑ ϕ ϑ
∆ = + +
Поток векторного поля
(
)
∫∫∫∫
===Φ
SS
dSnaSda ,
2
sin sin
r
S
r a d d ra drd r a drd
ϕ ϑ
ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϕ
= + +
∫∫
Приложение 321
r r r r
Сферическая система координат ( r ,ϑ , ϕ ) a = ar er + aϕ eϕ + aϑ eϑ ;
x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ
Элемент дуги (dl )2 = (dr ) 2 + r 2 (dϑ ) 2 + r 2 sin 2 ϑ (d ϕ ) 2
Элемент объема dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ
Единичные векторы вдоль координатных линий
r r r r
er = cos ϕ sin ϑ i + sin ϕ sin ϑ j + cos ϑ k ,
r r r r r r r
eϑ = cos ϕ cos ϑ i + sin ϕ cos ϑ j − sin ϑ k , eϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j
∂f r 1 ∂f r 1 ∂f r
Градиент скалярного поля grad f = er + eϑ + eϕ
∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
Дивергенция векторного поля
r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂aϕ
div a = 2 ( r ar ) + (aϑ sin ϑ ) +
r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
1 ∂ 2 ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2 f
Оператор Лапласа ∆f = ( r ) + (sin ϑ ) +
r 2 ∂r ∂r r 2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2
Некоторые частные решения уравнения Лапласа ∆f = 0 :
r r
1 ( p; r ) p cos ϑ
f (поле точечного заряда); f = (поле диполя);
r r3 r2
f pr cos ϑ = pz (однородное поле)
1 r 1 r 1r
er eϑ eϕ
r 2 sin ϑ r sinϑ r
r ∂ ∂ ∂
rot a =
∂r ∂ϑ ∂ϕ
ar r aϑ r sin ϑ aϕ
v v
Элементарная работа векторного поля ∆A = adl ( )
∆A = ar dr + aϕ r sin ϑ dϕ + raϑ dϑ
Поток векторного поля Φ = ∫∫ ad S = ∫∫ (a, n)dS =
S S
= ∫∫ r 2 ar sin ϑ d ϕ dϑ + raϕ drdϑ + r sin ϑ aϑ drdϕ
S
