ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приложение
319
Декартова система координат
( , , )
x y z
x x y y z z
a a e a e a e
= + +
r r r r
Элемент дуги
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
dl dx dy dz
= + +
Элемент объема
dV dx dy dz
=
Единичные векторы вдоль координатных линий
x
e i
=
r
r
,
y
e j
=
r
r
,
z
e k
=
r
r
Градиент скалярного поля
f f f
grad f i j k
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
r r
Дивергенция векторного поля
y
x
z
a
a
a
div a
x y z
∂
∂
∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
Оператор Лапласа
f div grad f
∆ =
2 2 2
2 2 2
f f f
f
x y z
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
Некоторые частные решения уравнения Лапласа
0
f
∆ =
:
1 2 3
2 2 2
1 2 3
, 0
k x k y k z
f e k k k
+ +
= + + =
;
2 3
2 2
2 3
( ) , 0
k y k z
f a bx e k k
+
= + + =
;
( )( )( )
f a bx c dy m nz
= + + +
x y z
i j k
rot a
x y z
a a a
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
r
r r
r
Элементарная работа векторного поля
(
)
A a dl
∆ =
v
v
x y z
A a dx a dy a dz
= + +
Поток векторного поля
(
)
∫∫∫∫
===Φ
SS
dSnaSda ,
x y z
S
a dydz a dxdz a dxdy
= + +
∫∫
=
( cos cos cos )
x y z
S
a a a dS
α β γ
+ +
∫∫
Приложение 319 r r r r Декартова система координат ( x, y, z ) a = ax ex + a y ey + az ez Элемент дуги (dl ) 2 = (dx) 2 + ( dy ) 2 + (dz ) 2 Элемент объема dV = dx dy dz Единичные векторы вдоль координатных линий r r r r r r ex = i , e y = j , ez = k Градиент скалярного поля ∂f r ∂f r ∂f r grad f = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Дивергенция векторного поля r ∂a ∂a y ∂az div a = x + + ∂x ∂y ∂z Оператор Лапласа ∆f = div grad f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∆f = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Некоторые частные решения уравнения Лапласа ∆f = 0 : f = ek1 x + k2 y + k3 z , k12 + k2 2 + k32 = 0 ; k2 y + k3 z f = (a + bx)e , k 2 2 + k32 = 0 ; f = ( a + bx)(c + dy )(m + nz ) r r r i j k r ∂ ∂ ∂ rot a = ∂x ∂y ∂z ax a y az v v Элементарная работа векторного поля ∆A = a dl ( ) A = ax dx + a y dy + az dz Поток векторного поля Φ = ∫∫ ad S = ∫∫ (a, n)dS = S S = ∫∫ ax dydz + a y dxdz + az dxdy = ∫∫ ( ax cos α +a y cos β + az cos γ )dS S S