Электродинамика. Нетребко Н.В - 317 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Приложение
317
5.3. Формулы Грина:
1) на плоскости:
( )
S L
dS dl
n n
ψ ϕ
ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ
∂ ∂
∆ − ∆ = −
∂ ∂
∫∫ ∫
,
где
n
−
r
внешняя нормаль к гладкому контуру
L
, ограничивающему
конечную область
S
;
2) в пространстве:
( )
V S
dV dS
n
ψ
ϕ ψ ϕ ψ ϕ
∂
∆ + ∇ ∇ =
∂
∫∫∫ ∫∫
,
( )
V S
n n
ψ ϕ
ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ
∂ ∂
∆ − ∆ = −
∂ ∂
∫∫∫ ∫∫
,
где
n
−
r
внешняя нормаль к поверхности
S
, ограничивающей объем
V
,
ϕ
и
ψ
−
дважды дифференцируемые в области
V S
+
функции.
5.4.
( ) ( ) ( )
r r
V S V
dV dS dV
grad r r grad r
r r r r r r
ρ ρ ρ
′
′ ′ ′
′ ′ ′
= − +
′ ′ ′
− − −
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫
r
r r r
r r r r r r
;
при
1
ρ
≡
:
S V
dS dV
grad
r r r r
′ ′
= −
′ ′
− −
∫∫ ∫∫∫
r
r r r r
.
6.
Векторное поле называется потенциальным в некоторой области, если
работа его не зависит от формы траектории, принадлежащей этой
области, а зависит только от положения начальной и конечной точек.
Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля
a
r
в односвязной области может быть записано в одной из форм:
1) циркуляция по любому замкнутому контуру в этой области равна
нулю;
2) существует скалярная функция координат
ϕ
такая, что
a grad
ϕ
=
r
(
ϕ
называется потенциалом векторного поля
a
r
);
3)
0
rot a
=
r
. 
Приложение                                                                               317

   5.3. Формулы Грина:
   1) на плоскости:
                               ∂ψ    ∂ϕ 
   ∫∫ (ϕ∆ψ −ψ∆ϕ ) dS = ∫  ϕ
    S                       L
                                ∂n
                                   −ψ     dl ,
                                      ∂n 
        r
   где n − внешняя нормаль к гладкому контуру L , ограничивающему
   конечную область S ;
   2) в пространстве:
                                           ∂ψ
          ∫∫∫ (ϕ∆ψ + ∇ϕ∇ψ )dV = ∫∫ ϕ
          V                            S
                                           ∂n
                                              dS ,

                                        ∂ψ        ∂ϕ 
          ∫∫∫ (ϕ∆ψ −ψ∆ϕ )dV = ∫∫  ϕ ∂n −ψ
          V                        S
                                                       dS ,
                                                   ∂n 
       r
   где n − внешняя нормаль к поверхности S , ограничивающей объем V ,
   ϕ и ψ − дважды дифференцируемые в области V + S функции.

   5.4.
                                                        r
                         r dV ′                 r dS ′                   r dV ′
        grad r  ∫∫∫ ρ (r ′) r r  = − ∫∫ ρ (r ′) r r + ∫∫∫ grad r ′ ρ ( r ′) r r ;
                 V           r − r′       S
                                                     r − r′ V                   r − r′
                             r
                           dS ′                    dV ′ 
   при ρ ≡ 1 :       ∫∫S rr − rr′ = − grad  ∫∫∫  r r  .
                                             V r − r′ 

6. Векторное поле называется потенциальным в некоторой области, если
   работа его не зависит от формы траектории, принадлежащей этой
   области, а зависит только от положения начальной и конечной точек.
   Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля
    r
   a в односвязной области может быть записано в одной из форм:
   1) циркуляция по любому замкнутому контуру в этой области равна
   нулю;
                                                           r
   2) существует скалярная функция координат ϕ такая, что a = gradϕ ( ϕ
                                          r
   называется потенциалом векторного поля a );
          r
   3) rot a = 0 .

Страницы