ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
68 ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ § 11.
10.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Обобщить результат примера 10.1 на случай, когда дисперсия σ
2
неиз-
вестна.
У к а з а н и е. Смотри примеры 9.2 (б) и 10.1.
О т в е т. H
0
принимается, если |
x
n
− θ
0
| 6 t
α
r
s
n
2
n − 1
, где t
α
— квантиль
уровня α = 1 −
p
2
распределения Стьюдента с n − 1 степенью свободы,
s
n
2
—
реализация выборочной дисперсии S
n
2
.
2. Выборка Z
n
соответствует распределению N(θ
1
; θ
2
). Проверить на
уровне значимости p гипотезу H
0
: θ
2
= σ
2
против H
1
: θ
2
6= σ
2
.
У к а з а н и е. Смотри пример 9.3.
О т в е т. H
0
принимается, если
s
n
2
∈
»
k
1
σ
2
n
; k
2
σ
2
n
–
, где k
1
и k
2
— квантили
распределения H
n−1
уровней
p
2
и 1 −
p
2
соответственно.
3. Пусть {X
k
, k = 1, . . . , n} и {Y
m
, m = 1, . . . , n} — независимые выборки,
порожденные СВ X ∼ N(θ
1
; σ
1
2
) и Y ∼ N(θ
2
; σ
2
2
), σ
1
и σ
2
— известны. На
уровне значимости p проверить гипотезу H
0
: θ
1
= θ
2
против H
1
: θ
1
6= θ
2
.
У к а з а н и е. Смотри задачу 9 из раздела 9.3.
О т в е т. H
0
принимается, если |
x
n
− y
n
| 6 u
α
r
σ
1
2
+ σ
2
2
n
, u
α
— квантиль
распределения N(0; 1) уровня α = 1 −
p
2
;
x
n
и y
n
— реализации X
n
и Y
n
.
4. В условиях примера 10.4 найти вероятность β ошибки второго рода.
О т в е т. β = Φ
„
√
n
(θ
0
− γ)
σ
+ u
α
«
.
5. В условиях пр едыдущей задачи определить, при каком минимальном
объеме выборки n
0
величина β будет не больше 0,01, если θ
0
= 0, γ = 1, σ
2
= 1,
p = 0,05.
О т в е т. n
0
= 9.
6. В условиях примера 10.4 найти минимальный объем выборки n
0
, при
котором вероятности ошибок первого и второго рода не больше заданных
значений, соответственно, a > 0 и b > 0.
О т в е т. n
0
=
σ
2
(u
a
+ u
b
)
(θ
0
− γ)
2
ff
+ 1, где {·} — целая часть числа, u
a
и u
b
—
квантили распределения N(0; 1) уровней a и b соответственно.
7. Выборка Z
n
соответствует распределению N(0; θ
2
), θ > 0. Построить
наиболее мощный критерий для проверки на уровне зн ачимости p гипотезы
H
0
: θ = θ
0
против альтернативы H
1
: θ = σ > θ
0
.
О т в е т. H
0
отвергается, если
n
X
k=1
x
k
2
> k
α
θ
0
2
, где k
α
— квантиль уровня
α = 1 − p распределения H
n−1
.
§ 11. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 69
§ 11. Проверка непараметрических гипотез
11.1. Теоретические положения. Пусть выборка Z
n
= {X
k
, k =
= 1, . . . , n} соответствует некоторому распределению с неизвестной
функцией распред еления F (x).
О п р е д е л е н и е 11.1. Непараметрической гипотезой называется
предположение H
0
: F (x) = F
0
(x), где F
0
(x) — некоторая известная
функция распре деления.
В непараметричемкой гипотеы H
0
функция F
0
(x) может содержать
неизвестные параметры.
Пусть F
0
(x) задает распределение ди скретной СВ X, принимающей
значения {ξ
1
, . . . , ξ
K
} с вероятностями p
m
= P(X = ξ
m
), m = 1, . . . , K.
Построим по выборке Z
n
частоты {p
m
∗
, m = 1, . . . , K} появления соот-
ветствующих значений: p
m
∗
=
n
m
n
, где n
m
— случайное число элементов
выборки, равных ξ
m
, m = 1, . . . , K, а n — объем выборки.
О п р е д е л е н и е 11.2. Статистикой хи-квадрат (статистикой
К. Пирсона) называется функция от выборки Z
n
вида
G
n
= T (Z
n
) = n
K
X
m=1
(p
m
− p
∗
m
)
2
p
m
=
K
X
m=1
(n
m
− np
m
)
2
np
m
. (11.1)
Из (11.1) видно, что G
n
является некоторой мерой расхождения
между теоретическими вероятностями {p
m
} и их оценками {p
m
∗
}, постро-
енными по результатам наблюдений.
На практике G
n
удобно вычислять по формуле, следующей из (11.1):
G
n
=
K
X
m=1
(n
m
)
2
np
m
− n. (11.2)
Т е о р е м а 11.1. Если Z
n
действительно соответствует распреде-
лению F
0
(x) (т.е. H
0
— верна), то G
n
асимптотически распределена
по закону хи-ква драт с r = K − 1 степенью свободы, т.е.
G
n
d
−→ χ
r
2
∼ H
r
, n → ∞.
Теорема 11.1 является теоретическим обоснованием следующего кри-
терия проверки гипотезы H
0
: F (x) = F
0
(x) на некотором уровне значи-
мости p ∈ (0; 1).
1) По реализации z
n
выборки Z
n
вычисляем соответствующую реа-
лизацию g
n
статистики G
n
из (11.2).
68 ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ § 11. § 11. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 69
10.3. Задачи для самостоятельного решения. § 11. Проверка непараметрических гипотез
1. Обобщить результат примера 10.1 на случай, когда дисперсия σ 2 неиз-
вестна.
У к а з а н и е. Смотри примеры 9.2 (б) и 10.1. r 11.1. Теоретические положения. Пусть выборка Z n = {X k, k =
= 1, . . . , n} соответствует некоторому распределению с неизвестной
s 2n
О т в е т. H 0 принимается, если |x n − θ 0| 6 t α α , где t — квантиль функцией распределения F (x).
n−1
p О п р е д е л е н и е 11.1. Непараметрической гипотезой называется
уровня α = 1 − распределения Стьюдента с n − 1 степенью свободы, s 2n —
2 предположение H 0: F (x) = F 0(x), где F 0(x) — некоторая известная
реализация выборочной дисперсии S 2n. функция распределения.
2. Выборка Z n соответствует распределению N (θ 1; θ 2). Проверить на В непараметричемкой гипотеы H 0 функция F 0(x) может содержать
уровне значимости p гипотезу H 0: θ 2 = σ 2 против H 1 : θ 2 6= σ 2 . неизвестные параметры.
У к а з а н и е. Смотри пример 9.3. » – Пусть F 0(x) задает распределение дискретной СВ X, принимающей
σ2 σ2 значения {ξ 1, . . . , ξ K } с вероятностями p m = P(X = ξ m), m = 1, . . . , K.
О т в е т. H 0 принимается, если s 2n ∈ k 1 ; k2 , где k 1 и k 2 — квантили
n n Построим по выборке Z n частоты {p ∗m, m = 1, . . . , K} появления соот-
p p n
распределения H n−1 уровней
2
и 1 − соответственно.
2
ветствующих значений: p ∗m = m , где n m — случайное число элементов
n
3. Пусть {X k, k = 1, . . . , n} и {Y m, m = 1, . . . , n} — независимые выборки, выборки, равных ξ m, m = 1, . . . , K, а n — объем выборки.
порожденные СВ X ∼ N (θ 1; σ 21 ) и Y ∼ N (θ 2; σ 22 ), σ 1 и σ 2 — известны. На О п р е д е л е н и е 11.2. Статистикой хи-квадрат (статистикой
уровне значимости p проверить гипотезу H 0 : θ 1 = θ 2 против H 1 : θ 1 6= θ 2. К. Пирсона) называется функция от выборки Z n вида
У к а з а н и е. Смотри задачу 9 из раздела 9.3. r
K K
σ 21 + σ 22 X (pm − p∗m )2 X (nm − npm )2
О т в е т. H 0 принимается, если |x n − y n| 6 u α , u α — квантиль G n = T (Z n) = n = . (11.1)
n pm npm
p m=1 m=1
распределения N (0; 1) уровня α = 1 − ; x n и y n — реализации X n и Y n.
2
4. В условиях примера 10.4 найти Из (11.1) видно, что G n является некоторой мерой расхождения
„ « вероятность β ошибки второго рода.
√ (θ 0 − γ) между теоретическими вероятностями {p m} и их оценками {p ∗m}, постро-
О т в е т. β = Φ n + uα . енными по результатам наблюдений.
σ
5. В условиях предыдущей задачи определить, при каком минимальном На практике G n удобно вычислять по формуле, следующей из (11.1):
объеме выборки n 0 величина β будет не больше 0,01, если θ 0 = 0, γ = 1, σ 2 = 1,
K
p = 0,05. X (nm )2
О т в е т. n 0 = 9. Gn = − n. (11.2)
m=1
npm
6. В условиях примера 10.4 найти минимальный объем выборки n 0, при
котором вероятности ошибок первого и второго рода не больше заданных Т е о р е м а 11.1. Если Z n действительно соответствует распреде-
значений, соответственно,
2 a > 0ff и b > 0. лению F 0(x) (т.е. H 0 — верна), то G n асимптотически распределена
σ (u a + u b) по закону хи-квадрат с r = K − 1 степенью свободы, т.е.
О т в е т. n 0 = 2
+ 1, где {·} — целая часть числа, u a и u b —
(θ 0 − γ)
квантили распределения N (0; 1) уровней a и b соответственно. d
G n −→ χ 2r ∼ H r, n → ∞.
7. Выборка Z n соответствует распределению N (0; θ2 ), θ > 0. Построить
наиболее мощный критерий для проверки на уровне значимости p гипотезы Теорема 11.1 является теоретическим обоснованием следующего кри-
H 0 : θ = θ 0 против альтернативы H 1 : θ = σ > θ 0.
n терия проверки гипотезы H 0: F (x) = F 0(x) на некотором уровне значи-
О т в е т. H 0 отвергается, если x 2k > k αθ 20 , где k α — квантиль уровня мости p ∈ (0; 1).
X
k=1 1) По реализации z n выборки Z n вычисляем соответствующую реа-
α = 1 − p распределения H n−1. лизацию g n статистики G n из (11.2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
