ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
64 ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ § 10.
S
p
= {z : z ∈ V
0
и T (z) ∈ ∆
p
}. (10.2)
Как правило, описать явно одномерную область ∆
p
существенно
проще, чем n-мерную область S
p
. Например, T (z) и ∆
p
достаточно
просто определяются с помощ ью метода доверительных интервалов (см.
пример 10.1).
Рассмотрим общий способ выбора статистики T (z), приводящий к
наиболее мощному критерию для проверки простой гипотезы H
0
: θ = θ
0
против пр остой альтернативы H
1
: θ = θ
1
.
Пусть Z
n
— выборка, соответствующая распределению с плотностью
p(x; θ), где θ = θ
0
или θ = θ
1
, θ
0
6= θ
1
, а z
n
= {x
1
, . . . , x
n
}
⊤
— реализация
Z
n
. Введе м статистику правдоподобия:
T (z
n
) =
n
Y
k=1
p(x
k
; θ
1
)
n
Y
k=1
p(x
k
; θ
0
)
. (10.3)
Т е о р е м а 10.1. (Нейман-Пирсон). Наиболее мощный критерий для
проверки H
0
на уровне значимости p против H
1
существует и зада-
ется оптимальной в смысле (10.1) критической областью S
p
∗
= {z
n
:
T (z
n
) > δ}, где T (z
n
) имеет вид (10.3), а параметр δ определяется из
условия
P (T (Z
n
) > δ | H
0
— верна) = p.
Заметим, что в условиях теоремы 10.1 критическая область ∆
p
для
T (Z
n
) име ет простой вид: ∆
p
= [δ, +∞).
10.2. Примеры.
П р и м е р 10.1. По выборке Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n}, соответствую-
щей распределению N(θ; σ
2
), где σ
2
> 0 — известна, проверить гипотезу
H
0
: θ = θ
0
на уровне значимости p против альтернативы H
1
: θ 6= θ
0
.
Р е ш е н и е. Для проверки H
0
воспользуемся методом доверительных
интервалов. Рассмотрим статистику T (Z
n
) =
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
. Из приме-
ра 9.1 следует, что при θ = θ
0
(т.е. H
0
— верна) и α = 1 −
p
2
P
X
n
− u
α
σ
√
n
6 θ
0
6 X
n
+ u
α
σ
√
n
= 1 −p,
§ 10. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 65
если u
α
— квантиль уровня α распределения N(0; 1). Отсюда
P
X
n
∈
θ
0
− u
α
σ
√
n
, θ
0
+ u
α
σ
√
n
= 1 − p.
Таким образом, критическая область ∆
p
для статистики критерия
T (Z
n
) =
X
n
принимает вид
∆
p
=
x : |x − θ
0
| > u
α
σ
√
n
,
а д оверительная область
∆
p
= R
1
\ ∆
p
=
x : |x − θ
0
| 6 u
α
σ
√
n
.
Итак, если z
n
= {x
1
, . . . , x
n
}
⊤
— реализация выборки Z
n
, а
x
n
=
= T (z
n
) =
1
n
n
X
k=1
x
k
— соответствующая реализация выборочного средне-
го
X
n
(т.е. статистики критерия), то гипотезу H
0
на уровне значимости p
следует отвергнуть, если
x
n
∈ ∆
p
, т.е. |x
n
−θ
0
| > u
α
σ
√
n
. Если же x
n
∈ ∆
p
,
то H
0
следует принять.
П р и м е р 10.2. В условиях примера 10.1 вычислить мощность крите-
рия и вероятность ошибки второго рода, если H
1
: θ = γ, γ 6= θ
0
.
Р е ш е н и е. По определению 10.7 с учетом (10.2) имеем
W (S
p
, γ) = P
X
n
∈ ∆
p
| H
1
— верна
=
= P
√
n|X
n
− θ
0
|
σ
> u
α
| H
1
— верна
=
= 1 − P
θ
0
− u
α
σ
√
n
6 X
n
6 θ
0
+ u
α
σ
√
n
| H
1
— верна
.
Если верна альтернатива H
1
, то
X
n
∼ N
γ;
σ
2
n
, поэтому
W (S
p
, γ) = 1 −
Φ
θ
0
+ u
α
σ
√
n
− γ
σ
√
n
− Φ
θ
0
− u
α
σ
√
n
− γ
σ
√
n
=
= 1 −
Φ
√
n(θ
0
− γ)
σ
+ u
α
− Φ
√
n(θ
0
− γ)
σ
− u
α
= 1 − ϕ
n
(θ
0
, γ).
Очевидно, что W (S
p
, θ
0
) = 1 − [Φ (u
α
) − Φ (−u
α
)] = 1 − (1 − p) = p —
вероятность ошибки первого рода.
5 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
64 ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ § 10. § 10. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 65
если u α — квантиль уровня α распределения N (0; 1). Отсюда
S p = {z : z ∈ V 0 и T (z) ∈ ∆ p}. (10.2)
σ σ
P X n ∈ θ 0 − uα √ , θ 0 + uα √ = 1 − p.
Как правило, описать явно одномерную область ∆ p существенно n n
проще, чем n-мерную область S p. Например, T (z) и ∆ p достаточно
Таким образом, критическая область ∆ p для статистики критерия
просто определяются с помощью метода доверительных интервалов (см.
пример 10.1). T (Z n) = X n принимает вид
Рассмотрим общий способ выбора статистики T (z), приводящий к
наиболее мощному критерию для проверки простой гипотезы H 0 : θ = θ 0 σ
∆ p = x : |x − θ 0| > u α √ ,
против простой альтернативы H 1 : θ = θ 1. n
Пусть Z n — выборка, соответствующая распределению с плотностью
σ
p(x; θ), где θ = θ 0 или θ = θ 1, θ 0 6= θ 1, а z n = {x 1, . . . , x n}⊤ — реализация а доверительная область ∆ p = R1 \ ∆ p = x : |x − θ 0| 6 u α √ .
Z n. Введем статистику правдоподобия: n
Итак, если z n = {x 1, . . . , x n}⊤ — реализация выборки Z n, а x n =
n
n 1 X
Y
p(x k; θ 1) = T (z n) = x k — соответствующая реализация выборочного средне-
n
k=1 k=1
T (z n) = n . (10.3) го X n (т.е. статистики критерия), то гипотезу H 0 на уровне значимости p
p(x k; θ 0)
Y
σ
k=1 следует отвергнуть, если x n ∈ ∆ p, т.е. |x n −θ 0| > u α √ . Если же x n ∈ ∆ p,
n
Т е о р е м а 10.1. (Нейман-Пирсон). Наиболее мощный критерий для то H 0 следует принять.
проверки H 0 на уровне значимости p против H 1 существует и зада- П р и м е р 10.2. В условиях примера 10.1 вычислить мощность крите-
ется оптимальной в смысле (10.1) критической областью S ∗p = {z n : рия и вероятность ошибки второго рода, если H 1: θ = γ, γ 6= θ 0.
T (z n) > δ}, где T (z n) имеет вид (10.3), а параметр δ определяется из Р е ш е н и е. По определению 10.7 с учетом (10.2) имеем
условия
P (T (Z n) > δ | H 0— верна) = p. W (S p, γ) = P X n ∈ ∆ p | H 1— верна =
√
Заметим, что в условиях теоремы 10.1 критическая область ∆ p для n|X n − θ0 |
=P > u α | H 1— верна =
T (Z n) имеет простой вид: ∆ p = [δ, +∞). σ
σ σ
= 1 − P θ 0 − u α √ 6 X n 6 θ 0 + u α √ | H 1— верна .
n n
10.2. Примеры.
П р и м е р 10.1. По выборке Z n = {X k, k = 1, . . . , n}, соответствую- σ2
щей распределению N (θ; σ 2 ), где σ 2 > 0 — известна, проверить гипотезу Если верна альтернатива H 1, то X n ∼ N γ; , поэтому
n
H 0: θ = θ 0 на уровне значимости p против альтернативы H 1: θ 6= θ 0.
Р е ш е н и е. Для проверки H 0 воспользуемся методом доверительных θ0 + uα √σn − γ θ0 − uα √σn − γ
1
n
X W (S p, γ) = 1 − Φ − Φ =
√σ √σ
интервалов. Рассмотрим статистику T (Z n) = X n = X k. Из приме- √ n √ n
n n(θ0 − γ) n(θ0 − γ)
k=1
p =1− Φ + uα − Φ − uα = 1 − ϕ n(θ 0, γ).
ра 9.1 следует, что при θ = θ 0 (т.е. H 0 — верна) и α = 1 − σ σ
2
σ σ Очевидно, что W (S p, θ 0) = 1 − [Φ (u α) − Φ (−u α)] = 1 − (1 − p) = p —
P X n − uα √ 6 θ 0 6 X n + uα √ = 1 − p, вероятность ошибки первого рода.
n n
5 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
