ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
60 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9.
Итак, искомый интервал для σ
2
имеет вид
I
2
=
nS
n
2
k
β
;
n
S
n
2
k
α
.
Для n − 1 = 8, α = 0,025, β = 0,975 по таблице 13.3 находим k
α
= 2,18,
k
β
= 17,5. Реализация интервала I
2
с учетом данных примера 9.2 и того,
что
s
n
2
= 1,115, имеет вид
n
s
n
2
k
β
;
n
s
n
2
k
α
=
8 · 1,115
17,5
;
8 · 1,115
2,18
= [0,51; 4,09].
Для с.к.о. σ соответствующий интервал равен I =
h
p
0,51;
p
4,09
i
=
= [0,71; 2,02]. Заметим, что истинное значение σ
0
= 1 накрывается
найденным и нтервалом I.
П р и м е р 9.4. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n}, где n ≫ 1, соответствует
распределению Bi(N; θ), θ > 0. Построить асимптотический доверитель-
ный интервал для θ.
Р е ш е н и е. Известно (см. задачу 1 из раздела 8.3), что оценка
b
θ
n
=
=
X
n
N
эффективна. Так как M{X
k
} = Nθ, то из центральной предельной
теоремы сле дует:
√
n (X
n
− Nθ)
d
−→ ξ ∼ N(0; Nθ(1 − θ)), где Nθ(1 −
− θ) = D{X
k
}. Отсюда заключаем, что
√
n (
b
θ
n
− θ)
d
−→ η ∼ N(0; d(θ)),
где d(θ) =
θ(1 − θ)
N
— асимптотическая дисперсия. Теперь, если u
α
—
квантиль уровня α = 1 −
p
2
распределения N(0; 1), то искомый интервал
имеет вид
b
I(n) =
"
b
θ
n
− u
α
r
b
θ
n
(1 −
b
θ
n
)
n N
;
b
θ
n
+ u
α
r
b
θ
n
(1 −
b
θ
n
)
n N
#
,
где
b
θ
n
=
X
n
N
. П ри этом P
θ ∈
b
I(n)
→ q, n → ∞.
9.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Выборка {X
1
, . . . , X
n
}, n ≫ 1 соответствует распределению Пуассона
Π(θ), θ > 0. Построить асимптотический доверительный интервал для θ
надежности q.
О т в е т.
"
X
n
− u
α
r
X
n
n
;
X
n
+ u
α
r
X
n
n
#
, α =
1 + q
2
.
§ 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 61
2. Выборка {X
1
, . . . , X
n
} соответствует распределению N(µ; θ), µ — из-
вестно. Построить центральный доверительный интервал надежности q для
дисперсии θ.
У к а з а н и е. Показать, что
n
X
k=1
(X
k
− µ)
2
θ
— центральная статистика с рас-
пределением H
n
. Воспользоваться примером 9.3.
3. Выборка {X
1
, . . . , X
n
}, n ≫ 1 соответствует распределению E
`
1
θ
´
, θ >
> 0. Построить асимптотический доверительный интервал надежности q для
параметра θ.
У к а з а н и е. Воспользоваться МП-оценкой
b
θ
n
для θ.
О т в е т.
»„
1 −
u
α
√
n
«
X
n
;
„
1 +
u
α
√
n
«
X
n
–
; α =
1 + q
2
.
4. По выборке z
n
= {−0,26; −0,36; 1,83; 0,54; −2,06}, соответствующей рас-
пределению N(θ
1
; θ
2
2
), найти доверительные интервалы надежности q = 0,9
для θ
1
и θ
2
.
О т в е т. [−1,41; 1,29] — для θ
1
; [0,94; 3,43] — для θ
2
.
5. Выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n}, n ≫ 1 соответствует равномерному
распределению R[0; a], a > 0. Построить асимптотический доверительный
интервал надежности q для параметра θ = M{X
1
}.
У к а з а н и е. Использовать оценку
b
θ
n
=
X
n
.
О т в е т.
»„
1 −
u
α
√
3n
«
X
n
;
„
1 +
u
α
√
3n
«
X
n
–
; α =
1 + q
2
.
6. Выборка Z
n
= {X
1
, . . . , X
n
}, n ≫1 соответствует распределению с плот-
ностью вероятности p(x; θ) = exp{θ − x}, x > θ, где θ > 0. Показать, что дове-
рительным интервалом надежности q для θ является
»
X
(1)
+
ln(1 − q)
n
; X
(1)
–
.
У к а з а н и е. Показать, что G(Z
n
; θ) = n(X
(1)
−θ) — центральная статисти-
ка.
7. В условиях задачи 6 построить центральный доверительный интервал
надежности q для θ.
О т в е т.
h
X
(1)
+
1
n
ln
“
1 − q
2
”
; X
(1)
+
1
n
ln
“
1 + q
2
”i
.
8. Пусть выборка {X
1
, . . . , X
n
}, n ≫1 соответствует распределению R[0; θ],
θ > 0. Показать, что
„
X
(n)
θ
«
n
— центральная статистика, и построить для θ
доверительный интервал минимальной длины и надежности q.
О т в е т.
»
X
(n)
;
X
(n)
(1 − q)
1/n
–
.
9. Пусть Z
n
(1)
= {X
1
, . . . , X
n
} и Z
n
(2)
= {Y
1
, . . . , Y
n
} — две независи-
мые выборки, причем Z
n
(1)
соответствует распределению N(θ
1
; σ
1
2
), а Z
n
(2)
—
N(θ
2
; σ
2
2
) (σ
1
и σ
2
— известны). Требуется построить доверительный интервал
60 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9. § 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 61
Итак, искомый интервал для σ 2 имеет вид 2. Выборка {X 1, . . . , X n} соответствует распределению N (µ; θ), µ — из-
2 вестно. Построить центральный доверительный интервал надежности q для
nS n nS 2n дисперсии θ.
I2 = ; . n
kβ kα (X k − µ)2
X
k=1
У к а з а н и е. Показать, что — центральная статистика с рас-
θ
Для n − 1 = 8, α = 0,025, β = 0,975 по таблице 13.3 находим k α = 2,18, пределением H n. Воспользоваться примером 9.3.
k β = 17,5. Реализация интервала I 2 с учетом данных примера 9.2 и того, ` ´
2 3. Выборка {X 1, . . . , X n}, n ≫ 1 соответствует распределению E θ1 , θ >
ns n ns 2n 8 · 1,115 8 · 1,115 > 0. Построить асимптотический доверительный интервал надежности q для
что s 2n = 1,115, имеет вид ; = ; = [0,51; 4,09]. параметра θ.
kβ kα 17,5 2,18
hp p i У к а з а н»„
и е. Воспользоваться МП-оценкой θbn для θ.
Для с.к.о. σ соответствующий интервал равен I = 0,51; 4,09 = « „ « –
uα uα 1+q
О т в е т. 1− √ X n; 1+ √ Xn ; α = .
= [0,71; 2,02]. Заметим, что истинное значение σ 0 = 1 накрывается n n 2
найденным интервалом I. 4. По выборке z n = {−0,26; −0,36; 1,83; 0,54; −2,06}, соответствующей рас-
П р и м е р 9.4. Выборка {X k, k = 1, . . . , n}, где n ≫ 1, соответствует пределению N (θ 1; θ 22 ), найти доверительные интервалы надежности q = 0,9
распределению Bi(N ; θ), θ > 0. Построить асимптотический доверитель- для θ 1 и θ 2.
ный интервал для θ. О т в е т. [−1,41; 1,29] — для θ 1; [0,94; 3,43] — для θ 2.
Р е ш е н и е. Известно (см. задачу 1 из раздела 8.3), что оценка θbn = 5. Выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n}, n ≫ 1 соответствует равномерному
Xn распределению R[0; a], a > 0. Построить асимптотический доверительный
= эффективна. Так как M{X k} = N θ, то из центральной предельной интервал надежности q для параметра θ = M{X 1}.
N
√ У к а з а н»„
и е. Использовать b =X .
теоремы следует:
d
n (X n − N θ) −→ ξ ∼ N (0; N θ(1 − θ)), где N θ(1 − « „оценку θ« n –n
uα uα 1+q
√ d О т в е т. 1− √ X n; 1+ √ Xn ; α = .
− θ) = D{X k}. Отсюда заключаем, что n (θbn − θ) −→ η ∼ N (0; d(θ)), 3n 3n 2
θ(1 − θ) 6. Выборка Z n = {X 1, . . . , X n}, n ≫ 1 соответствует распределению с плот-
где d(θ) = — асимптотическая дисперсия. Теперь, если u α —
N ностью вероятности p(x; θ) = exp{θ − x}, x > θ, где θ > » 0. Показать, что дове-
–
p
квантиль уровня α = 1 − распределения N (0; 1), то искомый интервал рительным интервалом надежности q для θ является X (1) +
ln(1 − q)
; X (1) .
2
имеет вид n
" r r # У к а з а н и е. Показать, что G(Z n; θ) = n(X (1) − θ) — центральная статисти-
ка.
θbn (1 − θbn ) b θbn (1 − θbn )
b
I(n) = θbn − u α ; θ n + uα , 7. В условиях задачи 6 построить центральный доверительный интервал
nN nN
надежности hq для θ. “1 − q” “ 1 + q ”i
1 1
О т в е т. X (1) + ln ; X (1) + ln .
X n 2 n 2
где θbn = n . При этом P θ ∈ I(n)
b → q, n → ∞. 8. Пусть выборка {X . , X n}, n ≫ 1 соответствует распределению R[0; θ],
N „ 1 , . .« n
X(n)
θ > 0. Показать, что — центральная статистика, и построить для θ
θ
9.3. Задачи для самостоятельного решения. доверительный» интервал минимальной
– длины и надежности q.
X (n)
1. Выборка {X 1, . . . , X n}, n ≫ 1 соответствует распределению Пуассона О т в е т. X (n); .
1/n
(1 − q)
Π(θ), θ > 0. Построить асимптотический доверительный интервал для θ
надежности "q. r r # 9. Пусть Z (1) = {X 1, . . . , X n} и Z (2) = {Y 1, . . . , Y n} — две независи-
n n
О т в е т. X n − u α
Xn
; X n + uα
Xn
,α=
1+q
. мые выборки, причем Z (1) n соответствует распределению N (θ 1; σ 21 ), а Z (2)
n —
n n 2 2
N (θ 2; σ 2 ) (σ 1 и σ 2 — известны). Требуется построить доверительный интервал
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
