ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9.
при n ≫ 1 накрывает оцениваемый параметр θ с вероятностью, близкой
к q = 1 −p.
Если
b
θ
n
— МП-оценка параметра θ, то в условиях теоремы 7.2 d(θ) =
=
1
i(θ)
, где i(θ) — информация Фишера одного наблюден ия. Пусть
распределение, определяющее выборку, регулярно (см. определение 8.1),
тогда i(θ) > 0, d(θ) =
1
i(θ)
непрерывна по θ, причем
e
d(θ) > d(θ),
есл и
e
d(θ) — асимптотическая дисперсия любой другой асимптотически
нормальной оценки
e
θ
n
параметра θ. Поэтому интервал
b
I, построенный с
использованием МП-оценки
b
θ
n
, будет асимптотически наикратчайшим.
Рассмотрим теперь некоторые специальные вероятностные распреде-
ления, необходимые для построения доверительных интервалов.
О п р е д е л е н и е 9.4. Пусть {X
k
, k = 1, . . . , n} — выборка, соответ-
ствующая распреде лению N(0; 1). Тогда СВ
χ
n
2
=
n
X
k=1
(X
k
)
2
имеет χ
2
-распределение (“хи-квадрат” распределение) с n степенями
свободы. Обозначение: χ
n
2
∼ H
n
.
СВ χ
n
2
имеет плотность вероятности
p
χ
2
n
(x) =
1
2
n/2
Γ
`
n
2
´
x
n−2
2
exp
n
−
x
2
o
, x > 0,
0, x < 0,
где Γ(λ) =
∞
Z
0
t
λ−1
e
−t
dt — гамма функция.
Моментные характеристики: M
χ
n
2
= n, D
χ
n
2
= 2n.
Распреде ление H
n
асимптотически нормально (по числу степеней
свободы n):
χ
2
n
− n
√
2n
d
−→ ξ ∼ N(0; 1), n → ∞.
О п р е д е л е н и е 9.5. Пусть X ∼ N(0; 1), Y
n
∼ H
n
, X и Y — незави-
симы. Тогда СВ
τ
n
=
X
r
1
n
Y
n
имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы.
§ 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 57
Обозначение : τ
n
∼ T
n
.
СВ τ
n
имеет плотность вероятности
p
τ
n
(x) =
Γ
`
n+1
2
´
√
nπ Γ
`
n
2
´
1 +
x
2
n
−
n+1
2
.
Свойства распре деления T
n
:
1) если n > 2, то M{τ
n
} = 0, D{τ
n
} =
n
n − 2
;
2) если n = 1, то τ
n
имеет распределение Коши: p
τ
n
(x) =
1
π(1 + x
2
)
;
3) асимптотическая нормальность: τ
n
d
−→ ξ ∼ N(0; 1), n → ∞.
Пусть теперь Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} — выборка, соответствующая
распределению N(θ; σ
2
), σ > 0,
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
— выборочное среднее,
S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− X
n
)
2
— выборочная дисперсия.
Т е о р е м а 9.2. Статистики
X
n
и S
n
2
независимы и обладают сле-
дующими свойствами:
1)
X
n
∼ N
θ;
σ
2
n
;
2) g
n
=
n
S
2
n
σ
2
∼ H
n−1
;
3) τ
n−1
=
√
n − 1(X
n
− θ)
S
n
∼ T
n−1
.
Утверждения теоремы 9.2 существенно облегчают построение дове-
рительных интервалов для параметров гауссовского распределения.
9.2. Примеры.
П р и м е р 9.1. Выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует рас-
пределению N(θ; σ
2
); σ
2
> 0 — известная дисперсия. Построить для θ
доверительный и нтервал надежности q = 1 − p.
Р е ш е н и е. Пусть G(Z
n
; θ) =
√
n (X
n
− θ)
σ
. По теореме 9.2 G(Z
n
; θ) ∼
∼ N(0; 1). При фиксированном
X
n
G(Z
n
; θ) монотонно убывает по θ.
Итак, G(Z
n
; θ) — центральная статистика. Пусть p
1
+ p
2
= p, p
1
> 0, p
2
>
> 0. Найдем квантили g
1
и g
2
из соответствующих уравнений Φ(g
1
) = p
1
56 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9. § 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 57
при n ≫ 1 накрывает оцениваемый параметр θ с вероятностью, близкой Обозначение: τ n ∼ Tn .
к q = 1 − p. СВ τ n имеет плотность вероятности
Если θb — МП-оценка параметра θ, то в условиях теоремы 7.2 d(θ) =
n
1 ` ´ − n+1
= , где i(θ) — информация Фишера одного наблюдения. Пусть Γ n+12 x2 2
i(θ) p τn (x) = √ `n´ 1 + .
распределение, определяющее выборку, регулярно (см. определение 8.1), nπ Γ 2 n
1 e
тогда i(θ) > 0, d(θ) = непрерывна по θ, причем d(θ) > d(θ),
i(θ) Свойства распределения T n:
e n
если d(θ) — асимптотическая дисперсия любой другой асимптотически 1) если n > 2, то M{τ n} = 0, D{τ n} = ;
n−2
нормальной оценки θen параметра θ. Поэтому интервал I, b построенный с 1
b 2) если n = 1, то τ n имеет распределение Коши: p τn (x) = ;
использованием МП-оценки θ n, будет асимптотически наикратчайшим. π(1 + x2 )
Рассмотрим теперь некоторые специальные вероятностные распреде- d
3) асимптотическая нормальность: τ n −→ ξ ∼ N (0; 1), n → ∞.
ления, необходимые для построения доверительных интервалов.
Пусть теперь Z n = {X k, k = 1, . . . , n} — выборка, соответствующая
О п р е д е л е н и е 9.4. Пусть {X k, k = 1, . . . , n} — выборка, соответ- n
ствующая распределению N (0; 1). Тогда СВ 1 X
распределению N (θ; σ 2 ), σ > 0, X n = X k — выборочное среднее,
n
n k=1
X n
χ 2n = (X k)2 1 X
S 2n = (X k − X n)2 — выборочная дисперсия.
k=1 n
k=1
2
имеет χ -распределение (“хи-квадрат” распределение) с n степенями Т е о р е м а 9.2. Статистики X n и S 2n независимы и обладают сле-
свободы. Обозначение: χ 2n ∼ H n. дующими свойствами:
СВ χ 2n имеет плотность вероятности σ2
1) X n ∼ N θ; ;
n
n o 2
1 n−2 x n Sn
` n ´ x 2 exp − , x > 0, 2) g n = ∼ H n−1;
p χ2 (x) = 2n/2 Γ 2 2 σ 2√
n 0, x < 0, n − 1(X n − θ)
3) τ n−1 = ∼T n−1.
Sn
Z
∞ Утверждения теоремы 9.2 существенно облегчают построение дове-
где Γ(λ) = tλ−1 e−t dt — гамма функция. рительных интервалов для параметров гауссовского распределения.
0
Моментные характеристики: M χ 2n = n, D χ 2n = 2n.
Распределение H n асимптотически нормально (по числу степеней 9.2. Примеры.
χ2n − n d П р и м е р 9.1. Выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} соответствует рас-
свободы n): √ −→ ξ ∼ N (0; 1), n → ∞.
2n пределению N (θ; σ 2 ); σ 2 > 0 — известная дисперсия. Построить для θ
О п р е д е л е н и е 9.5. Пусть X ∼ N (0; 1), Y n ∼ H n, X и Y — незави- доверительный интервал надежности q = 1 − p.
симы. Тогда СВ √
X n (X n − θ)
τn = r Р е ш е н и е. Пусть G(Z n; θ) = . По теореме 9.2 G(Z n; θ) ∼
σ
1
Y n
∼ N (0; 1). При фиксированном X n G(Z n; θ) монотонно убывает по θ.
n
Итак, G(Z n; θ) — центральная статистика. Пусть p 1 + p 2 = p, p 1 > 0, p 2 >
имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы. > 0. Найдем квантили g 1 и g 2 из соответствующих уравнений Φ(g 1) = p 1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
