ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
52 ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК § 8.
Пусть
b
θ
n
— МП-оценка параметра θ, тогда
b
θ
n
= X
(n)
=
= max{X
1
, . . . , X
n
} (см. пример 7.2). В примере 5.1 было показано, что
X
(n)
∼ F
(n)
(x) =
x
n
θ
n
, если x ∈ [0; θ], поэтому
p(x; θ) =
(
nx
n−1
θ
n
, если x ∈ [0; θ],
0, если x /∈ [0; θ].
Отсюда н емедле нно следует, что для любого θ ∈ Θ
M
n
b
θ
n
o
=
n
θ
n
θ
Z
0
x
n
dx =
n
n + 1
θ.
Поэтому “подправленная” оценка
e
θ
n
=
n + 1
n
b
θ
n
— несмещенная. Найдем
теперь дисперсию оценки
e
θ
n
:
M
n
(
e
θ
n
)
2
o
=
n + 1
n
2
M
b
θ
n
2
=
n + 1
n
2
θ
Z
0
x
2
nx
n−1
θ
n
dx =
=
(n + 1)
2
nθ
n
θ
Z
0
x
n+1
dx =
(n + 1)
2
n(n + 2)
θ
2
.
Поэтому D
n
e
θ
n
o
= M
n
(
e
θ
n
)
2
o
− θ
2
=
(n + 1)
2
n(n + 2)
− 1
θ
2
=
θ
2
n(n + 2)
=
= O
1
n
2
.
Итак, мы видим, что для θ найдена несмещенная оценка, с.к.-
погрешность которой убывает существенно быстрее, чем O
1
n
, что
разрешено неравенством Рао–Крамера. Указанный эффект вызван нере-
гулярностью распределения R[0; θ] и известен как “сверхэффективность”
оценки
e
θ
n
.
8.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Выборка соответствует распределению Bi(N ; θ), θ ∈ (0; 1). Проверить
условия регулярности, найти i(θ) и доказать эффективность МП-оценки пара-
метра θ.
У к а з а н и е.
b
θ
n
=
X
n
N
.
§ 9. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК 53
О т в е т. i(θ) =
N
θ(1 − θ)
.
2. Показать, что распределение Пуассона Π(θ), θ > 0, регулярно. Найти
i(θ). Доказать эффективность МП-оценки
b
θ
n
параметра θ.
У к а з а н и е.
b
θ
n
=
X
n
.
О т в е т. i(θ) =
1
θ
.
3. Для распределения N(µ; θ
2
), θ > 0, где µ — известно, найти информацию
Фишера i(θ).
О т в е т. i(θ) =
2
θ
2
.
4. Проверить регулярность распределения E(θ), θ > 0, вычислить I
n
(θ).
Доказать, что оценка
e
θ
n
=
n − 1
n
b
θ
n
асимптотически эффективна, если
b
θ
n
—
МП-оценка для θ.
У к а з а н и е.
b
θ
n
=
1
X
n
.
О т в е т. I
n
(θ) =
n
θ
2
; D
n
e
θ
n
o
=
θ
2
n − 2
.
5. Показать, что информаци я I
n
(θ), содержащаяся в выборке Z
n
, соответ-
ствующей распределению Лапласа (8.10), равна
n
λ
2
.
6. Сравнить по точности оценку θ
n
∗
параметра θ распределения R[0; θ], θ >
> 0, полученную методом моментов, с оц енкой
e
θ
n
, рассмотренной в примере 8.5.
У к а з а н и е. θ
n
∗
= 2
X
n
.
О т в е т.
D{θ
n
∗
}
D
n
e
θ
n
o
=
n + 2
3
.
7. Пусть выборка соответствует распределению N(µ; θ), θ > 0, µ — извест-
но. Доказать, что МП-оценка дисперсии θ эффективна.
У к а з а н и е.
b
θ
n
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− µ)
2
.
О т в е т. D
n
b
θ
n
o
=
2θ
2
n
; i(θ) =
1
2θ
2
.
8. Выборка Z
n
соответствует распределению N(θ
1
; θ
2
2
). Найти информаци-
онную матрицу Фишера I(θ
1
, θ
2
).
О т в е т. I(θ
1
, θ
2
) =
2
6
4
1
θ
2
2
0
0
2
θ
2
2
3
7
5
.
9. Для оценок, построенных в задачах 1, 2 и 7, найти их представление (8.7)
через вклад выборки.
О т в е т. Во всех случаях a(θ) =
1
I
n
(θ)
.
52 ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК § 8. § 9. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК 53
N
Пусть θbn — МП-оценка параметра θ, тогда θbn = X (n) = О т в е т. i(θ) = .
θ(1 − θ)
= max{X 1, . . . , X n} (см. пример 7.2). В примере 5.1 было показано, что
2. Показать, что распределение Пуассона Π(θ), θ > 0, регулярно. Найти
xn
X (n) ∼ F (n)(x) = , если x ∈ [0; θ], поэтому i(θ). Доказать эффективность МП-оценки θbn параметра θ.
θn
( У к а з а н и е. θbn = X n.
nxn−1 1
, если x ∈ [0; θ], О т в е т. i(θ) = .
p(x; θ) = θn θ
0, если x ∈
/ [0; θ]. 3. Для распределения N (µ; θ2 ), θ > 0, где µ — известно, найти информацию
Фишера i(θ).
Отсюда немедленно следует, что для любого θ ∈ Θ О т в е т. i(θ) =
2
.
θ2
n o Zθ 4. Проверить регулярность распределения E(θ), θ > 0, вычислить I n(θ).
b n n
M θ n = n xn dx = θ. Доказать, что оценка θe =
n−1b
θ асимптотически эффективна, если θb —
θ n+1 n
n n n
0
МП-оценка для θ.
1
n+1b У к а з а н и е. θbn = .
Поэтому “подправленная” оценка θen = θ n — несмещенная. Найдем Xn
n n o
n θ2
теперь дисперсию оценки θe : n О т в е т. I n(θ) = 2 ; D θen = .
θ n−2
n o Zθ 5. Показать, что информация I n(θ), содержащаяся в выборке Z n, соответ-
e n+1 2 b
2 n+1 2 nxn−1 n
ствующей распределению Лапласа (8.10), равна 2 .
2
M (θ n) = M θn = x2 n dx = λ
n n θ
0 6. Сравнить по точности оценку θ ∗n параметра θ распределения R[0; θ], θ >
Zθ > 0, полученную методом моментов, с оценкой θen, рассмотренной в примере 8.5.
(n + 1)2 (n + 1)2 2
= xn+1 dx = θ . У к а з а н и е. θ ∗n = 2X n.
nθn n(n + 2)
0 D{θ ∗n} n+2
О т в е т. n o = .
n o n o e
D θn 3
(n + 1)2
θ2
Поэтому D θen = M (θen)2 − θ2 = = − 1 θ2 = 7. Пусть выборка соответствует распределению N (µ; θ), θ > 0, µ — извест-
n(n + 2) n(n + 2)
но. Доказать, что МП-оценка дисперсии θ эффективна.
1
=O 2 . n
1 X
n У к а з а н и е. θb =
n (X − µ)2 . k
Итак, мы видим, что для θ найдена несмещенная оценка, с.к.- k=1
n
1 n o 2θ2 1
погрешность которой убывает существенно быстрее, чем O , что b
О т в е т. D θ n = ; i(θ) = 2 .
n n 2θ
разрешено неравенством Рао–Крамера. Указанный эффект вызван нере-
8. Выборка Z n соответствует распределению N (θ 1; θ 22 ). Найти информаци-
гулярностью распределения R[0; θ] и известен как “сверхэффективность” онную матрицу Фишера I(θ 1, θ 2).
оценки θen. 2 1 3
2
0
6 θ 7
О т в е т. I(θ 1, θ 2) = 4 2 2 5
.
0
8.3. Задачи для самостоятельного решения. 2 θ2
1. Выборка соответствует распределению Bi(N ; θ), θ ∈ (0; 1). Проверить 9. Для оценок, построенных в задачах 1, 2 и 7, найти их представление (8.7)
условия регулярности, найти i(θ) и доказать эффективность МП-оценки пара- через вклад выборки.
метра θ. 1
X О т в е т. Во всех случаях a(θ) = .
У к а з а н и е. θb = n .
n
I n(θ)
N
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
