ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
50 ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК § 8.
Итак, ∆
n
= ∆
n
min
, поэтому X
n
— эффективная оценка для θ при любой
величине с.к.о. σ.
П р и м е р 8.2. Показать, что распределение Бернулли Bi(1; θ), θ ∈
∈ (0; 1) является регулярным и найти информацию Фишера i(θ).
Р е ш е н и е. По условию p(x; θ) = θ
x
(1 − θ)
1−x
, x = 0, 1, а θ ∈ Θ =
= (0; 1). Обозначим f(x; θ) =
∂
p
p(x; θ)
∂θ
= −
∂p(x; θ)
∂θ
1
2
p
p(θ; x)
. Если x =
= 0, то p(x; θ) = 1 − θ, и, следовательно, f(x; θ) = −
1
2
√
1 − θ
непрерывна
по θ на (0; 1). Аналогично, для x = 1 p(x; θ) = θ, т.е. f(x; θ) = −
1
2
√
θ
также непрерывна по θ на Θ. Таким образом, условие регулярности R.1)
выполнено.
Теперь найдем i(θ). Если X ∼ Bi(1; θ), то p(X; θ) = θ
X
(1 − θ)
1−X
.
Отсюда l(X; θ) = ln p(X; θ) = X ln θ + (1−X) ln(1 −θ). Поэтому ϕ(X; θ) =
=
∂l(X; θ)
∂θ
=
X
1 − θ
−
1 − X
θ
=
X − θ
θ(1 − θ)
. Теперь
i(θ) = M
θ
ϕ
2
(X; θ)
=
M
θ
˘
(X − θ)
2
¯
θ
2
(1 − θ)
2
=
=
D
θ
{X}
θ
2
(1 − θ)
2
=
θ(1 − θ)
θ
2
(1 − θ)
2
=
1
θ(1 − θ)
.
Видно, что 0 < i(θ) < ∞ при любом θ ∈ Θ и i(θ) непрерывна по θ на Θ,
т.е. условие R.2) также выполнено.
П р и м е р 8.3. Доказать, что частота
b
θ
n
= P
n
∗
(A) случайного события
A является эффективной оценкой вероятности θ = P(A) этого события.
Р е ш е н и е. По определению P
n
∗
(A) =
1
n
n
X
k=1
X
k
, где X
k
∼ Bi(1; θ) —
независимые бернуллиевские СВ (см. пример 4.3). Поэтому M{P
n
∗
(A)} =
= θ, а D{P
n
∗
(A)} =
D{X
1
}
n
=
θ(1 − θ)
n
. Из примера 8.2 следует, что
количество информации в выборке Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} о параметре
θ равно I
n
(θ) = n i(θ) =
n
θ(1 − θ)
. Поэтому D
n
b
θ
n
o
= D{P
n
∗
(A)} =
1
I
n
(θ)
,
т.е. в неравенстве Рао–Крамера достигается нижняя граница. Таким
образом,
b
θ
n
= P
n
∗
(A) эффективно оценивает θ = P(A). Применимость
теоремы Рао–Крамера в данном случае обосновывается регулярностью
распределения Bi(1; θ) для всех θ ∈ (0; 1), что было доказано в приме-
ре 8.2.
§ 8. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК 51
Следующий пример показывает, что выборочное среднее отнюдь не
всегда является эффективной оценкой математического ожидания.
П р и м е р 8.4. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует распределе-
нию Лапласа с параметрами (θ, λ), где λ > 0, т.е.
p(x; θ) =
1
2λ
exp
−
|x − θ|
λ
, θ ∈ R
1
. (8.10)
Доказать, что
X
n
является несмещенной, но не эффективной оценкой
среднего θ при любом известном λ.
Р е ш е н и е. Можно показать, что в условиях примера неравен-
ство (8.5) выполнено, причем I
n
(θ) =
n
λ
2
.
Если X имеет распределение (8.10), то M{X} =
=
1
2λ
∞
Z
−∞
x exp
−
|x − θ|
λ
dx = θ +
λ
2
∞
Z
−∞
y exp{−|y|}dy = θ, поэтому
M
X
n
= M{X} = θ (см. решение примера 8.1). Далее D
X
n
=
=
D{X}
n
=
2λ
2
n
, так как D{X} =
1
2λ
∞
Z
−∞
(x − θ)
2
exp
−
|x − θ|
λ
dx = 2λ
2
.
Отсюда видно, что ∆
n
= D
X
n
=
2λ
2
n
>
1
I
n
(θ)
=
λ
2
n
= ∆
n
min
. Таким
образом, с.к.-погрешность ∆
n
оценки
X
n
параметра θ в два раза больше
нижней границы Рао–Крамера ∆
n
min
при любом объеме выборки n и
любом θ ∈ R
1
. Последнее означает, что
X
n
не может быть эффективной
оценкой для θ. Более того,
X
n
не является даже асимптотически
эффективной, так как
∆
n
∆
n
min
6→ 1, n → ∞.
Приведем пример нерегулярного распределения и рассмотрим точ-
ность МП-оценки параметра этого распределения.
П р и м е р 8.5. П оказать, что распределение R[0; θ], θ > 0 нерегулярно.
Исследовать поведение с.к.-погрешности МП-оценки параметра θ при
n → ∞.
Р е ш е н и е. Зафиксируем любое x > 0. По условию
p(x; θ) =
(
0, если θ < x,
1
θ
, если θ > x.
Таким образом,
p
p(x; θ) терпит разрыв в точке θ = x и, естественно,
не является непрерывно дифференцируемой при любом x > 0. Итак,
условие R.1) нарушено.
4*
50 ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК § 8. § 8. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК 51
Итак, ∆ n = ∆ min
n , поэтому X n — эффективная оценка для θ при любой Следующий пример показывает, что выборочное среднее отнюдь не
величине с.к.о. σ. всегда является эффективной оценкой математического ожидания.
П р и м е р 8.2. Показать, что распределение Бернулли Bi(1; θ), θ ∈ П р и м е р 8.4. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} соответствует распределе-
∈ (0; 1) является регулярным и найти информацию Фишера i(θ). нию Лапласа с параметрами (θ, λ), где λ > 0, т.е.
Р е ш е н и е. По условию p(x;pθ) = θx (1 − θ)1−x , x = 0, 1, а θ ∈ Θ =
1 |x − θ|
∂
p(x; θ) ∂p(x; θ) 1 p(x; θ) = exp − , θ ∈ R1 . (8.10)
= (0; 1). Обозначим f (x; θ) = = − p . Если x = 2λ λ
∂θ ∂θ 2 p(θ; x)
1 Доказать, что X n является несмещенной, но не эффективной оценкой
= 0, то p(x; θ) = 1 − θ, и, следовательно, f (x; θ) = − √ непрерывна среднего θ при любом известном λ.
2 1−θ
1 Р е ш е н и е. Можно показать, что в условиях примера неравен-
по θ на (0; 1). Аналогично, для x = 1 p(x; θ) = θ, т.е. f (x; θ) = − √ n
2 θ ство (8.5) выполнено, причем I n(θ) = 2 .
также непрерывна по θ на Θ. Таким образом, условие регулярности R.1) λ
Если X имеет распределение (8.10), то M{X} =
выполнено. ∞Z Z
∞
Теперь найдем i(θ). Если X ∼ Bi(1; θ), то p(X; θ) = θX (1 − θ)1−X . 1 |x − θ| λ
= x exp − dx = θ + y exp{−|y|} dy = θ, поэтому
Отсюда l(X; θ) = ln p(X; θ) = X ln θ + (1 − X) ln(1 − θ). Поэтому ϕ(X; θ) = 2λ λ 2
∂l(X; θ) X 1−X X −θ −∞ −∞
= = − = . Теперь M X n = M{X} = θ (см. решение примера 8.1). Далее D X n =
∂θ 1−θ θ θ(1 − θ) Z
∞
D{X} 2λ2 1 |x − θ|
˘ ¯ = = , так как D{X} = (x − θ)2 exp − dx = 2λ2 .
2 M θ (X − θ)2 n n 2λ λ
i(θ) = M θ ϕ (X; θ) = = −∞
θ2 (1 − θ)2 2λ 2
1 2
λ
D {X} θ(1 − θ) 1 Отсюда видно, что ∆ n = D X n = > = = ∆ min
n . Таким
= 2 θ = 2 = . n I n(θ) n
θ (1 − θ)2 θ (1 − θ)2 θ(1 − θ) образом, с.к.-погрешность ∆ n оценки X n параметра θ в два раза больше
нижней границы Рао–Крамера ∆ min n при любом объеме выборки n и
Видно, что 0 < i(θ) < ∞ при любом θ ∈ Θ и i(θ) непрерывна по θ на Θ,
любом θ ∈ R1 . Последнее означает, что X n не может быть эффективной
т.е. условие R.2) также выполнено.
оценкой для θ. Более того, X n не является даже асимптотически
П р и м е р 8.3. Доказать, что частота θbn = P ∗n(A) случайного события ∆n
A является эффективной оценкой вероятности θ = P(A) этого события. эффективной, так как 6→ 1, n → ∞.
n
∆ min
n
1 X Приведем пример нерегулярного распределения и рассмотрим точ-
Р е ш е н и е. По определению P ∗n(A) = X k, где X k ∼ Bi(1; θ) —
n
k=1
ность МП-оценки параметра этого распределения.
независимые бернуллиевские СВ (см. пример 4.3). Поэтому M{P ∗n(A)} = П р и м е р 8.5. Показать, что распределение R[0; θ], θ > 0 нерегулярно.
D{X } θ(1 − θ) Исследовать поведение с.к.-погрешности МП-оценки параметра θ при
= θ, а D{P ∗n(A)} = 1
= . Из примера 8.2 следует, что n → ∞.
n n
количество информации в выборке Z n = {X kn, k = Р е ш е н и е. Зафиксируем любое x > 0. По условию
o 1, . . . , n} о параметре (
n b 1
θ равно I (θ) = n i(θ) =
n . Поэтому D θ = D{P ∗ (A)} =
n n , 0, если θ < x,
θ(1 − θ) I n(θ) p(x; θ) =
т.е. в неравенстве Рао–Крамера достигается нижняя граница. Таким 1
, если θ > x.
θ
образом, θbn = P ∗n(A) эффективно оценивает θ = P(A). Применимость p
теоремы Рао–Крамера в данном случае обосновывается регулярностью Таким образом, p(x; θ) терпит разрыв в точке θ = x и, естественно,
распределения Bi(1; θ) для всех θ ∈ (0; 1), что было доказано в приме- не является непрерывно дифференцируемой при любом x > 0. Итак,
ре 8.2. условие R.1) нарушено.
4*
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
