Практикум по математической статистике. Панков А.Р - 24 стр.

46                          ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК                                            § 8.   § 8.                  ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК                       47

   10. Выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} соответствует логнормальному рас-                              заменяется суммой:
пределению с параметрами (θ 1; θ 2), т.е. ln X k ∼ N (θ 1; θ 2). Найти МП-оценку                                                                                    2
                                                                                                                                          m
                                                                                                                                          X
параметра θ = M{X k}, доказать ее сильную состоятельность.                                                                                          ∂ ln p(ξk ; θ)
                                         n      θ
                                                   o                                                                             i(θ) =                                   P k(θ).   (8.2)
   У к а з а н и е. Показать, что θ = exp θ 1 + 2 ; воспользоваться принципом                                                                            ∂θ
                                                                                                                                          k=1
                                                 2
инвариантности.                   ff
                               S 2              1   n               n
                                                                  1 X                                          Пусть L n(θ; Z n) — функция правдоподобия выборки Z n (см. опреде-
   О т в е т. θbn = exp Y n + n , где Y n =           Y k, S 2n =     (Y k − Y n)2 ,
                                                   X
                                            2                  n                        n                   ление 7.2), а L n(θ) = ln L n(θ; Z n) — логарифмическая функция правдо-
                                                                   k=1                      k=1
Y k = ln X k, k = 1, . . . , n.                                                                             подобия.
    11. Найти МП-оценку параметра θ = M{X k} по выборке {X k, k =                                              О п р е д е л е н и е 8.3. Функция
= 1, . . . , n}, соответствующей распределению R[θ 1, θ 2].                                                                                                  d L n(θ)
                        X (1) + X (n)                                                                                                     U n(θ; Z n) =                             (8.3)
     О т в е т. θbn =                   .                                                                                                                      dθ
                             2
                                                                                                            называется вкладом выборки Z n.
                                                                                                               О п р е д е л е н и е 8.4. Функция I n(θ), определенная на Θ формулой
                                                                                                                                                       Z
              § 8. Эффективность точечных оценок                                                                          I n(θ) = M θ U 2n(θ; Z n) = U 2n(θ; x)L n(θ; x)dx,      (8.4)
                                                                                                                                                            Rn

                                                                                                            называется количеством информации Фишера о параметре θ, содержа-
   8.1. Теоретические положения. Для определенности предполо-                                               щимся в выборке Z n, соответствующей распределению p(x; θ), θ ∈ Θ.
жим, что выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} соответствует абсолютно                                         Т е о р е м а 8.1. Пусть выполнены условия регулярности R.1) и R.2),
непрерывному распределению F (x; θ) c плотностью p(x; θ), где θ ∈ Θ ⊆                                       тогда I n(θ) = n i(θ), где i(θ) имеет вид (8.1) или (8.2).
⊆ R1 , Θ — произвольный промежуток.                                                                            Пусть θ 0 ∈ Θ — неизвестное истинное значение параметра θ рас-
   О п р е д е л е н и е 8.1. Распределение F (x; θ) называется регулярным,                                 пределения F (x; θ), а θbn — произвольная
если выполнены следующие два условия.                                                                                                           n       oнесмещенная оценка для θ 0,
                   p                                                                                                                              b
                                                                                                            построенная по выборке Z n: M θ n − θ 0 = 0. Пусть также ∆ n =
R.1) Функция         p(x; θ) непрерывно дифференцируема по θ на Θ для                                           n            o
      почти всех x (по мере Лебега).                                                                        = M |θbn − θ 0|2 — с.к.-погрешность оценки θbn.
                                                                                                               Т е о р е м а 8.2 (неравенство Рао–Крамера). Пусть выполнены усло-
R.2) Функция                                                                                                вия регулярности R.1) и R.2), тогда справедливы следующие утвержде-
                          (                    2 )                              2                       ния.
                                                           Z
                                                           ∞
                               ∂ ln p(X; θ)                         ∂ ln p(x; θ)                               1)
           i(θ) = M θ                                  =                                p(x; θ)dx   (8.1)
                                    ∂θ                                   ∂θ
                                                           −∞                                                                                      1
                                                                                                                                      ∆n >               = ∆ min
                                                                                                                                                             n ,                    (8.5)
                                                                                                                                                In (θ0 )
       конечна, положительна и непрерывна по θ на Θ.
                                                                                                            где ∆ min
                                                                                                                  n   — нижняя граница Рао–Крамера с.к.-погрешности несмещен-
    В формуле (8.1) СВ X имеет плотность распределения p(x; θ), θ ∈ Θ,
                                                                                                            ной оценки θbn.
а M θ {ξ} означает усреднение СВ ξ по этому распределению.
    О п р е д е л е н и е 8.2. Функция i(θ) называется информационным ко-                                       2) Если в (8.5) для некоторой оценки θbn достигается равенство, то
личеством Фишера одного наблюдения с распределением p(x; θ).                                                ее можно представить в виде
    Если СВ X, порождающая выборку Z n, является дискретной, а                                                                     θbn = θ 0 + a(θ 0)U n(θ 0; Z n),                 (8.6)
{ξ 1, . . . , ξ m} — множество ее допустимых значений, то P(X = ξ k; θ) =
= P k(θ), θ ∈ Θ, p(x; θ) = P(X = x; θ), а в формуле (8.1) интеграл                                          где a(θ) не зависит от Z n, а U n(θ; Z n) — вклад выборки (8.3).