ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ § 7.
Тогда уравнение правдоподобия (7.8) имеет решение
b
θ
n
, обладающее
следующими свойствами:
а) M
n
b
θ
n
− θ
0
o
→ 0, n → ∞ (асимптотическая несмещенность);
б)
b
θ
п.н.
−−−→ θ
0
, n → ∞ ( сильная состоятельность);
в)
q
n i(θ
0
)(
b
θ
n
− θ
0
)
d
−→ ξ ∼ N(0; 1), n → ∞ (асимптотическая
нормальность).
Утверждения теоремы 7.2 могут быть обобщены н а случай многомер-
ного п араметра θ.
7.2. Примеры.
П р и м е р 7.1. Выборка Z
n
порождена СВ X ∼ R[θ
1
; θ
2
], θ
1
< θ
2
.
Найти оценку вектора θ = {θ
1
, θ
2
}
⊤
методом моментов.
Р е ш е н и е. Известно, что ν
1
(θ) = M{X} =
θ
1
+ θ
2
2
, а µ
2
(θ) =
= M
(X − ν
1
(θ))
2
= D{X} =
(θ
2
− θ
1
)
2
12
. Выборочными оценками
моментов ν
1
(θ) и µ
2
(θ) являются, соответственно, выборочное среднее
и выборочная дисперсия (см. раздел 6):
ν
1
(n) = X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
,
µ
2
(n) = S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
−
X
n
)
2
.
Подставляя найденные теоретические и выборочные моменты в си-
стему уравнений метода моментов (7.3), получаем
θ
1
+ θ
2
= 2
X
n
,
θ
2
− θ
1
= 2
√
3 S
n
.
Решая полученную систему уравнений относительно θ
1
, θ
2
, находим
окончательный вид оценок:
b
θ
1
=
X
n
−
√
3 S
n
,
b
θ
2
= X
n
+
√
3 S
n
.
§ 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 43
П р и м е р 7.2. В условиях примера 7.1 найти оценки максимального
правдоподобия параметров θ
1
и θ
2
.
Р е ш е н и е. По условию p(x; θ) =
1
θ
2
− θ
1
, если x ∈ [θ
1
, θ
2
];
0, если x /∈ [θ
1
, θ
2
].
От-
сюда
L
n
(θ; Z
n
) =
1
(θ
2
− θ
1
)
n
, если X
i
∈ [θ
1
, θ
2
], i = 1, . . . , n;
0, если ∃j : X
j
/∈ [θ
1
, θ
2
].
Из полученного выражения следует, что при любых θ
1
< θ
2
L
n
(θ; Z
n
) 6
6
1
(X
(n)
− X
(1)
)
n
= L
max
, где X
(1)
= min (X
1
, . . . , X
n
), X
(n)
=
= max (X
1
, . . . , X
n
). Отсюда
b
θ
1
= X
(1)
,
b
θ
2
= X
(n)
, так как
L
n
(
b
θ
1
,
b
θ
2
; Z
n
) = L
max
. Заметим, что МП-оценки
b
θ
1
,
b
θ
2
не совпадают с
оценками метода моментов, построенными в примере 7.1.
П р и м е р 7.3. Пусть выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует
распределению Bi(N; p), где N — известно. Найти МП-оценку параметра
θ (с учетом θ ∈ (0; 1)).
Р е ш е н и е. Из условия следует, что p(x; θ) = C
N
x
θ
x
(1−θ)
N−x
, где x =
= 0, 1, . . . , N, а C
N
x
=
N!
x!(N − x)!
. Поэтому функция правдоподобия имеет
вид
L
n
(θ; Z
n
) =
n
Y
k=1
p (X
k
; θ) =
n
Y
k=1
C
N
X
k
θ
X
k
(1 − θ)
N−X
k
. (7.9)
Логарифмируя (7.9), найдем логарифмическую функцию правдоподо-
бия:
L
n
(θ) = ln L
n
(θ; Z
n
) =
n
X
k=1
ln C
N
X
k
+ X
k
ln θ + (N − X
k
) ln(1 − θ)
=
=
n
X
k=1
ln C
N
X
k
+ ln θ
n
X
k=1
X
k
+ ln(1 − θ)
Nn −
n
X
k=1
X
k
!
.
Уравнение правдоподобия (7.8) имеет вид
d
L
n
(θ)
dθ
=
1
θ
n
X
k=1
X
k
−
1
1 −θ
Nn −
n
X
k=1
X
k
!
= 0.
42 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ § 7. § 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 43
Тогда уравнение правдоподобия (7.8) имеет решение θbn, обладающее П р и м е р 7.2. В условиях примера 7.1 найти оценки максимального
следующими
n свойствами:
o правдоподобия параметров θ 1 и θ 2.
b
а) M θ n − θ 0 → 0, n → ∞ (асимптотическая несмещенность); 1
, если x ∈ [θ 1, θ 2];
Р е ш е н и е. По условию p(x; θ) = θ2 − θ1 От-
п.н.
б) θb −−−→ θ 0, n → ∞ (сильная состоятельность); 0, если x ∈ / [θ 1, θ 2].
q
d сюда
в) n i(θ 0)(θbn − θ 0) −→ ξ ∼ N (0; 1), n → ∞ (асимптотическая
нормальность). 1
, если X i ∈ [θ 1, θ 2], i = 1, . . . , n;
Утверждения теоремы 7.2 могут быть обобщены на случай многомер- L n(θ; Z n) = (θ 2 − θ 1)n
ного параметра θ. 0, если ∃j : X j ∈/ [θ 1, θ 2].
Из полученного выражения следует, что при любых θ 1 < θ 2 L n(θ; Z n) 6
7.2. Примеры. 1
6 = Lmax , где X (1) = min (X 1, . . . , X n), X (n) =
П р и м е р 7.1. Выборка Z n порождена СВ X ∼ R[θ 1; θ 2], θ 1 < θ 2. (X (n) − X (1))n
Найти оценку вектора θ = {θ 1, θ 2}⊤ методом моментов. = max (X 1, . . . , X n). Отсюда θb1 = X (1), θb2 = X (n), так как
θ + θ2
Р е ш е н и е. Известно, что ν 1(θ) = M{X} = 1 , а µ 2(θ) = L n(θb1, θb2; Z n) = Lmax . Заметим, что МП-оценки θb1, θb2 не совпадают с
2
(θ 2 − θ 1)2 оценками метода моментов, построенными в примере 7.1.
= M (X − ν 1(θ))2 = D{X} = . Выборочными оценками П р и м е р 7.3. Пусть выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} соответствует
12
моментов ν 1(θ) и µ 2(θ) являются, соответственно, выборочное среднее распределению Bi(N ; p), где N — известно. Найти МП-оценку параметра
и выборочная дисперсия (см. раздел 6): θ (с учетом θ ∈ (0; 1)).
Р е ш е н и е. Из условия следует, что p(x; θ) = C xN θx (1−θ)N −x , где x =
n N!
1 X = 0, 1, . . . , N , а C xN = . Поэтому функция правдоподобия имеет
ν 1(n) = X n = X k, x!(N − x)!
n
k=1 вид
n n
Y n
Y
1 X
µ 2(n) = S 2n = (X k − X n)2 . L n(θ; Z n) = p (X k; θ) = CXk Xk
N θ (1 − θ)N −Xk . (7.9)
n k=1 k=1
k=1
Подставляя найденные теоретические и выборочные моменты в си- Логарифмируя (7.9), найдем логарифмическую функцию правдоподо-
стему уравнений метода моментов (7.3), получаем бия:
n
X
θ 1 + θ 2 = 2X n, ln C X
L n(θ) = ln L n(θ; Z n) = N + X k ln θ + (N − X k) ln(1 − θ) =
k
θ − θ = 2√3 S . n n
k=1
n
!
2 1 n X X X
= ln C X
N
k
+ ln θ X k + ln(1 − θ) N n − Xk .
Решая полученную систему уравнений относительно θ 1, θ 2, находим k=1 k=1 k=1
окончательный вид оценок:
Уравнение правдоподобия (7.8) имеет вид
√ √
θb1 = X n − 3 S n, θb2 = X n + 3 S n. !
n n
dL n(θ) 1 X 1 X
= Xk − Nn − Xk = 0.
dθ θ 1−θ
k=1 k=1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
