ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6.
ряют условию
n
X
k=1
bα
k
2
6
n
X
k=1
α
k
2
для любых {α
k
} таких, что
n
X
k=1
α
k
= 1.
Обозначим e = {1, . . . , 1}
⊤
, α = {α
1
, . . . , α
n
}
⊤
. Из неравенства Коши–
Буняковского следует:
1 =
n
X
k=1
α
k
!
2
= |(e, α)|
2
6 |e|
2
|α|
2
,
причем равенство достигается только при α = λe. Отсюда |α|
2
=
n
X
k=1
α
k
2
>
>
1
|e|
2
=
1
n
. Если теперь положить bα
k
=
1
n
, k = 1, . . . , n, то
n
X
k=1
bα
k
2
=
=
1
n
6
n
X
k=1
α
k
2
. Итак,
b
θ
n
=
n
X
k=1
bα
k
X
k
=
1
n
n
X
k=1
X
k
=
X
n
— с.к.-оптимальная
оценка на классе Φ
n
всех линейных несмещенных оценок. Заметим также,
что оценка
b
θ
n
— единственная (в силу единственности набора оптималь-
ных коэффициентов {bα
k
=
1
n
, k = 1, . . . , n}).
6.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать теорему 6.1.
У к а з а н и е. Учесть, что M
˘
X
2
¯
= D
X
+ m
X
2
.
2. Пусть θ — неслучайный параметр, а
b
θ
n
— его несмещенная оценка.
Показать, что ∆
n
= D
n
b
θ
n
o
.
3. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена СВ X с известным средним
m = M{X} и неизвестной дисперсией θ = D{X}. Доказать, что статистика
S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− m)
2
является несмещенной и сильно состоятельной оценкой
параметра θ.
4. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует распределению R[0; θ], θ > 0.
Показать, что X
(n)
— с.к.-состоятельная оценка параметра θ.
У к а з а н и е. Вычислить M
n
(X
(n)
)
2
o
и учесть результат примера 6.3.
5. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует распределению E(θ), θ >
> 0. Доказать, что
b
θ
n
=
v
u
u
t
2n
n
X
k=1
X
k
2
является сильно состоятельной оценкой
§ 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 39
параметра θ.
У к а з а н и е. Найти п.н.-предел ξ
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
2
.
6. Пусть выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует нормальному распреде-
лению N(θ, σ
2
), где σ — известно. Показать, что статистика T
n
= (
X
n
)
2
−
σ
2
n
несмещенно и сильно состоятельно оценивает функцию g(θ) = θ
2
.
У к а з а н и е. Показать, что M
˘
(
X
n
)
2
¯
= θ
2
+
σ
2
n
.
7. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ R[0; θ], θ > 0. Доказать,
что
b
θ
n
= 2
X
n
— несмещенная и сильно состоятельная оценка для θ.
8. Пусть выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует распределению
Bi(N ; p), где N — известно. Показать, что статистика T
n
=
X
n
(N − X
n
)
N
явля-
ется асимптотически несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра
θ = D{X
1
}.
У к а з а н и е. Вычислить M
˘
X
n
2
¯
= D
˘
X
n
¯
+
`
M
˘
X
n
¯´
2
и учесть, что
M
˘
X
n
¯
= pN .
§ 7. Методы построения точечных оценок параметров
7.1. Теоретические положения. Пусть Z
n
= {X
k
, k =
= 1, 2, . . . , n} — выборка, порожденная СВ X, функция распределе-
ния которой F
X
(x; θ) известна с точностью до m-мерного вектора θ =
= {θ
1
, . . . , θ
m
}
⊤
неизвестных неслучайных параметров. Для построения
оценок параметров (θ
1
, . . . , θ
m
) по выборке Z
n
можно использовать ме-
тод моментов, если СВ X имеет конечные начальные моменты ν
r
для
всех r 6 m.
А л г о р и т м м е т о д а м о м е н т о в.
1) Найти аналитически е выражения для начальных моментов ν
r
:
ν
r
(θ) = M{X
r
} =
∞
Z
−∞
x
r
dF
X
(x; θ), r = 1, . . . , m. (7.1)
2) Вычислить соответствующие выборочные начальные моменты
ν
r
(n) =
1
n
n
X
k=1
(X
k
)
r
, r = 1, . . . , m. (7.2)
38 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6. § 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 39
ряют условию параметра θ.
n
1 X
n
X n
X n
X У к а з а н и е. Найти п.н.-предел ξ n = X 2.
b 2k
α 6 α 2k для любых {α k} таких, что α k = 1. n k=1 k
k=1 k=1 k=1 6. Пусть выборка {X k, k = 1, . . . , n} соответствует нормальному распреде-
⊤ ⊤ σ2
Обозначим e = {1, . . . , 1} , α = {α 1, . . . , α n} . Из неравенства Коши– лению N (θ, σ 2 ), где σ — известно. Показать, что статистика T n = (X n)2 −
n
Буняковского следует: несмещенно и сильно состоятельно оценивает функцию g(θ) = θ2 .
!2 ˘ ¯ σ2
n
X У к а з а н и е. Показать, что M (X n)2 = θ2 + .
1= αk = |(e, α)|2 6 |e|2 |α|2 , n
k=1
7. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ R[0; θ], θ > 0. Доказать,
что θbn = 2X n — несмещенная и сильно состоятельная оценка для θ.
n
X
причем равенство достигается только при α = λe. Отсюда |α|2 = α 2k > 8. Пусть выборка {X k, k = 1, . . . , n} соответствует распределению
k=1 X (N − X )
n Bi(N ; p), где N — известно. Показать, что статистика T n = n n
явля-
1 1 1 X N
> = . Если теперь положить α
b k = , k = 1, . . . , n, то b 2k
α = ется асимптотически несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра
|e|2 n n θ = D{X 1}.
k=1
n n n ˘ ¯ ˘ ¯ ` ˘ ¯´2
1 X X 1 X У к а з а н и е. Вычислить M X 2n = D X n + M X n и учесть, что
= 6 α 2k. Итак, θbn = α
b kX k = X k = X n — с.к.-оптимальная ˘ ¯
n n M X n = pN .
k=1 k=1 k=1
оценка на классе Φ n всех линейных несмещенных оценок. Заметим также,
что оценка θbn — единственная (в силу единственности набора оптималь-
ных коэффициентов {b α k = n1 , k = 1, . . . , n}).
§ 7. Методы построения точечных оценок параметров
6.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать теорему 6.1. ˘ ¯ 7.1. Теоретические положения. Пусть Z n = {X k, k =
У к а з а н и е. Учесть, что M X 2 = D X + m 2X. = 1, 2, . . . , n} — выборка, порожденная СВ X, функция распределе-
2. Пусть θ — неслучайный параметр, а θbn — его несмещенная оценка. ния которой F X (x; θ) известна с точностью до m-мерного вектора θ =
n o = {θ 1, . . . , θ m}⊤ неизвестных неслучайных параметров. Для построения
Показать, что ∆ n = D θbn .
оценок параметров (θ 1, . . . , θ m) по выборке Z n можно использовать ме-
3. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} порождена СВ X с известным средним тод моментов, если СВ X имеет конечные начальные моменты ν r для
m = M{X} и неизвестной дисперсией θ = D{X}. Доказать, что статистика всех r 6 m.
n
1 X А л г о р и т м м е т о д а м о м е н т о в.
S 2n = (X k − m)2 является несмещенной и сильно состоятельной оценкой
n k=1 1) Найти аналитические выражения для начальных моментов ν r:
параметра θ.
Z
∞
4. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} соответствует распределению R[0; θ], θ > 0. r
Показать, что X (n) — с.к.-состоятельная оценка параметра θ. ν r(θ) = M{X } = xr dF X (x; θ), r = 1, . . . , m. (7.1)
n o −∞
У к а з а н и е. Вычислить M (X (n))2 и учесть результат примера 6.3.
2) Вычислить соответствующие выборочные начальные моменты
5. Выборка {X k, k = 1,
v. . . , n} соответствует распределению E(θ), θ >
u 2n n
1 X
> 0. Доказать, что θbn = u
t n является сильно состоятельной оценкой ν r(n) = (X k)r , r = 1, . . . , m. (7.2)
X k2 n
X
k=1
k=1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
