ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6.
= 1, . . . , n} — выборка.
О п р е д е л е н и е 6.1. Точечной оценкой параметра θ по выборке Z
n
называется любая статистика
b
θ
n
= ϕ
n
(Z
n
), принимающая значения из
множества Θ.
На практике вычисляют реализацию оценки
b
θ
n
(по имеющей ся ре-
ализации z
n
) и принимают ее за приближенное значение параметра θ.
Поэтому желательно, чтобы при любом возможном θ величина
b
θ
n
была
бы близка к θ.
О п р е д е л е н и е 6.2. Величина ∆
b
θ
n
=
b
θ
n
− θ называется ошибкой
оценки
b
θ
n
.
О п р е д е л е н и е 6.3. Оценка
b
θ
n
называется несмещенной, если
M
n
∆
b
θ
n
o
= 0. Если же M
n
∆
b
θ
n
o
6= 0, но M
n
∆
b
θ
n
o
→ 0, n → ∞, то
оценка
b
θ
n
называется асимптотически несмещенной.
О п р е д е л е н и е 6.4. Оценка
b
θ
n
называется сильно состоятельной,
если ∆
b
θ
n
п.н.
−−−→ 0, n → ∞ и состоятельной в среднем квадратическом
(с.к.-состоятельной), если ∆
b
θ
n
с.к.
−−−→ 0, n → ∞.
О п р е д е л е н и е 6.5. Среднеквадратической погрешностью (с.к.-
погрешностью) оцен ки
b
θ
n
называется величина
∆
n
= M
n
|∆
b
θ
n
|
2
o
. (6.1)
Т е о р е м а 6.1. Пусть θ ∈ R
1
и M
n
|∆
b
θ
n
|
2
o
< ∞, тогда
∆
n
= l
n
2
+ d
n
, (6.2)
где l
n
= M
n
∆
b
θ
n
o
— смещение оценки
b
θ
n
, а d
n
= D
n
∆
b
θ
n
o
— дисперсия
ее ошибки.
О п р е д е л е н и е 6.6. Оценка
b
θ
n
называется асимптотически нор-
мальной, если существует детерминированная последовательность
{C
n
, n = 1, 2, . . . } такая, что C
n
∆
b
θ
n
d
−→ ξ ∼ N(0; 1), n → ∞.
Пусть теперь оценка
b
θ
n
= ϕ
n
(Z
n
) принадлежит некоторому задан-
ному классу допустимых оценок, т.е. ϕ
n
∈ Φ
n
, n = 1, 2, . . . , где Φ
n
—
фиксированный класс допустимых преобразований выборки Z
n
.
О п р е д е л е н и е 6.7. Оценка
b
θ
n
= ϕ(Z
n
) называется оптимальной в
среднем квадратическом (с.к.-оптимальной) на Φ
n
, если
∆
n
= M
n
|∆
b
θ
n
|
2
o
6 M
n
|θ
n
−
e
θ
n
|
2
o
, n = 1, 2, . . . ,
§ 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 35
где
e
θ
n
— произвольная допустимая оценка:
e
θ
n
= ψ
n
(Z
n
), ψ
n
∈ Φ
n
.
Если θ ∈ R
m
, где m > 2, то все вышеприведенные определения
остаются в силе со следующими уточнениями:
1) в (6.2) величина l
n
2
= δ
n
⊤
δ
n
, где δ
n
= M
n
∆
b
θ
n
o
∈ R
m
— вектор
смещения оценки
b
θ
n
, а d
n
= tr[K
n
], где K
n
= cov(∆
b
θ
n
, ∆
b
θ
n
) — ковариа-
ционная матрица ошибки ∆
b
θ
n
, tr[A] — след матрицы A;
2) в определении 6.6 {C
n
, n = 1, 2, . . . } — последовательность неслу-
чайных матриц размера m × m, а предельное распределение N(0; I) —
m-мерное с тандартное гауссовское распределение.
6.2. Примеры.
П р и м е р 6.1. Пусть выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} имеет вид
X
k
= θ + ε
k
, k = 1, . . . , n,
θ — неслучайный скалярный параметр, {ε
k
, k = 1, . . . , n} — независимые
случайные величины, M{ε
k
} = 0, D{ε
k
} = D
k
6
D < ∞ для всех
k > 1. Доказать, что выборочное среднее
X
n
является несмещенной и
состоятельной оценкой θ.
Р е ш е н и е. По определению 4.1
b
θ
n
=
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
, поэтому
X
n
=
=
1
n
n
X
k=1
(θ + ε
k
) = θ +
1
n
n
X
k=1
ε
k
= θ +
ε
n
. Отсюда ∆X
n
= ∆
b
θ
n
= X
n
−
− θ =
ε
n
— ошибка оценки
b
θ
n
= X
n
. Погрешность ∆
n
= M
|∆X
n
|
2
=
= M
|
ε
n
|
2
=
1
n
2
n
X
k=1
D{ε
k
} 6
D
n
→ 0, n → ∞. Поэтому оценка
X
n
с.к.-состоятельна.
Докажем теперь сильную состоятельность оценки
X
n
. Так как
M{ε
k
} = a
k
= 0, а
∞
X
k=1
D
k
k
2
6
∞
X
k=1
D
k
2
=
D
∞
X
k=1
1
k
2
< ∞, то
ε
n
=
=
1
n
n
X
k=1
ε
k
п.н.
−−−→ 0, n → ∞ по теореме 4.2. Поэтому ∆
X
n
= ε
n
п.н.
−−−→ 0,
n → ∞, т.е.
X
n
п.н.
−−−→ θ, n → ∞, что означает сильную состоятельность
X
n
.
Наконец, для любого n > 1 M
n
∆
b
θ
n
o
= M
∆
X
n
= M{ε
n
} =
=
1
n
n
X
k=1
M{ε
k
} = 0, т.е. оценка
X
n
— не смеще нная.
3*
34 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6. § 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 35
= 1, . . . , n} — выборка. где θen — произвольная допустимая оценка: θen = ψ n(Z n), ψ n ∈ Φ n.
О п р е д е л е н и е 6.1. Точечной оценкой параметра θ по выборке Z n Если θ ∈ Rm , где m > 2, то все вышеприведенные определения
называется любая статистика θbn = ϕ n(Z n), принимающая значения из остаются в силе со следующими уточнениями: n o
множества Θ. 1) в (6.2) величина l 2n = δ ⊤ b ∈ Rm — вектор
n δ n, где δ n = M ∆θ n
На практике вычисляют реализацию оценки θbn (по имеющейся ре-
ализации z n) и принимают ее за приближенное значение параметра θ. смещения оценки θbn, а d n = tr[K n], где K n = cov(∆θbn, ∆θbn) — ковариа-
Поэтому желательно, чтобы при любом возможном θ величина θbn была ционная матрица ошибки ∆θbn, tr[A] — след матрицы A;
бы близка к θ. 2) в определении 6.6 {C n, n = 1, 2, . . . } — последовательность неслу-
О п р е д е л е н и е 6.2. Величина ∆θbn = θbn − θ называется ошибкой чайных матриц размера m × m, а предельное распределение N (0; I) —
m-мерное стандартное гауссовское распределение.
оценки θbn.
b
nО п рoе д е л е н и е 6.3. Оценка
n o θ n называется
n несмещенной, если
o 6.2. Примеры.
M ∆θb n = 0. Если же M ∆θb n 6= 0, но M ∆θb
n → 0, n → ∞, то П р и м е р 6.1. Пусть выборка {X k, k = 1, . . . , n} имеет вид
оценка θbn называется асимптотически несмещенной. X k = θ + ε k, k = 1, . . . , n,
О п р е д е л е н и е 6.4. Оценка θbn называется сильно состоятельной, θ — неслучайный скалярный параметр, {ε k, k = 1, . . . , n} — независимые
п.н.
если ∆θbn −−−→ 0, n → ∞ и состоятельной в среднем квадратическом случайные величины, M{ε k} = 0, D{ε k} = D k 6 D < ∞ для всех
с.к.
(с.к.-состоятельной), если ∆θbn −−−→ 0, n → ∞. k > 1. Доказать, что выборочное среднее X n является несмещенной и
О п р е д е л е н и е 6.5. Среднеквадратической погрешностью (с.к.- состоятельной оценкой θ.
n
погрешностью) оценки θbn называется величина Р е ш е н и е. По определению 4.1 θb = X =
1 X
X , поэтому X =
n n k n
n o n
k=1
∆ n = M |∆θbn|2 . (6.1) n
1 X
n
1 X
n o = (θ + ε k) = θ + ε k = θ + ε n. Отсюда ∆X n = ∆θbn = X n −
n n
k=1 k=1
Т е о р е м а 6.1. Пусть θ ∈ R1 и M |∆θbn|2 < ∞, тогда
− θ = ε n — ошибка оценки θbn = X n. Погрешность ∆ n = M |∆X n|2 =
n
∆ n = l 2n + d n, (6.2) 1 X D
= M |ε n|2 = 2 D{ε k} 6 → 0, n → ∞. Поэтому оценка X n
n o n o n n
k=1
где l n = M ∆θbn — смещение оценки θbn, а d n = D ∆θbn — дисперсия с.к.-состоятельна.
ее ошибки. Докажем теперь сильную состоятельность оценки X n. Так как
∞
X ∞
X ∞
X
О п р е д е л е н и е 6.6. Оценка θbn называется асимптотически нор- Dk D 1
M{ε k} = a k = 0, а 6 = D < ∞, то ε n =
мальной, если существует детерминированная последовательность k2 k2 k2
k=1 k=1 k=1
d n
{C n, n = 1, 2, . . . } такая, что C n∆θbn −→ ξ ∼ N (0; 1), n → ∞. 1 X п.н. п.н.
= ε k −−−→ 0, n → ∞ по теореме 4.2. Поэтому ∆X n = ε n −−−→ 0,
n
Пусть теперь оценка θbn = ϕ n(Z n) принадлежит некоторому задан- k=1
ному классу допустимых оценок, т.е. ϕ n ∈ Φ n, n = 1, 2, . . . , где Φ n — п.н.
n → ∞, т.е. X n −−−→ θ, n → ∞, что означает сильную состоятельность
фиксированный класс допустимых преобразований выборки Z n. X n. n o
О п р е д е л е н и е 6.7. Оценка θbn = ϕ(Z n) называется оптимальной в
Наконец, для любого n > 1 M ∆θbn = M ∆X n = M{ε n} =
среднем квадратическом (с.к.-оптимальной) на Φ n, если
n
n o n o 1 X
= M{ε k} = 0, т.е. оценка X n — несмещенная.
∆ n = M |∆θbn|2 6 M |θ n − θen|2 , n = 1, 2, . . . , n
k=1
3*
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
