ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5.
= 2Φ
0
ε
√
n
p
x(1 − x)
. Так как x(1 −x) 6
1
4
, то наихудший результат будет
при x =
1
2
. Например, если ε = 0,1, n = 100, то P
|
b
F
n
(
1
2
) −
1
2
| 6 0,1
∼
=
2Φ
0
(2)
∼
=
0,95. Для сравнения, при x = 0,1 P
|
b
F
n
(0,1) − 0,1| 6 0,1
∼
=
2Φ
0
0,1
√
100
√
0,09
∼
=
2Φ
0
(3,3)
∼
=
0,998.
§ 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 33
5.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти функцию распределения k-ой порядковой статистики X
(k)
, k =
= 1, . . . , n.
О т в е т. F
(k)
(x) =
n
X
m=k
C
n
m
F
m
(x)(1 − F (x))
n−m
.
2. Выборка соответствует распределению R[0; 1]. Вычислить M
n
X
(n)
o
и
D
n
X
(n)
o
.
О т в е т. M
n
X
(n)
o
=
n
n + 1
; D
n
X
(n)
o
=
n
(n + 1)
2
(n + 2)
.
3. Выборка соответствует распределению F (x) с конечным моментом ν
r
.
Доказать, что
µ
r
(n)
п.н.
−−−→ µ
r
, n → ∞.
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (a − b)
r
=
r
X
m=0
(−1)
m
C
r
m
a
m
b
r−m
и
примером 5.3.
4. Выборка объема n ≫ 1 соответствует распределению N(0; σ
2
). Найти
асимптотическое распределение выборочного момента
ν
2
(n).
О т в е т. N
„
σ
2
;
2σ
4
n
«
.
5. Двумерная выборка объема n≫1 соответствует распределению N(µ; K),
где K =
»
D
X
k
XY
k
Y X
D
Y
–
. Доказать, что
√
n
“
b
k
XY
(n) − k
XY
”
d
−→ ξ ∼
∼ N
`
0; D
X
D
Y
+ k
2
XY
´
.
У к а з а н и е. Вычислить µ
22
, воспользоваться теоремой 5.5.
6. Выборка соответствует распределению E(λ), λ > 0. Найти предел, к
которому почти наверное сходится
ν
2
(n) при n → ∞.
О т в е т.
2
λ
2
.
7. Выборка объема n ≫ 1 порождена СВ X ∼ E(1). Оценить
P
„
|
b
F
n
(1) − F
X
(1)| 6
1
√
n
«
.
О т в е т. 2Φ
0
„
e
√
e − 1
«
.
§ 6. Точечные оценки и их свойства
6.1. Теоретические положения. Пусть θ ∈ Θ⊆R
1
— некоторая де-
терминированная или случайная величина (параметр), а Z
n
= {X
k
, k =
3 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
32 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5. § 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 33
√
ε n 5.3. Задачи для самостоятельного решения.
= 2Φ 0 p . Так как x(1 − x) 6 14 , то наихудший результат будет
x(1 − x) 1. Найти функцию распределения k-ой порядковой статистики X (k), k =
= 1, . . . , n.
при x = 21 . Например, если ε = 0,1, n = 100, то P |Fb n( 12 ) − 12 | 6 0,1 ∼= n
О т в е т. F (k)(x) = Cm m
n F (x)(1 − F (x))
n−m
.
X
= 0,95. Для сравнения, при x = 0,1 P |Fb n(0,1) − 0,1| 6 0,1 ∼
2Φ 0(2) ∼ = m=k
n o
√
0,1 100 ∼ 2. Выборка соответствует распределению R[0; 1]. Вычислить M X (n) и
2Φ 0 √ = 2Φ 0(3,3) ∼
= 0,998. n o
0,09 D X (n) .
n o n
n o n
О т в е т. M X (n) = ; D X (n) = 2
.
n+1 (n + 1) (n + 2)
3. Выборка соответствует распределению F (x) с конечным моментом ν r.
п.н.
Доказать, что µ r(n) −−−→ µ r, n → ∞.
r
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (a − b)r = (−1)m C m m r−m
и
X
r a b
m=0
примером 5.3.
4. Выборка объема n ≫ 1 соответствует распределению N (0; σ 2 ). Найти
асимптотическое
„ распределение
« выборочного момента ν 2(n).
2σ 4
О т в е т. N σ2 ; .
n
5. Двумерная
» объема n≫1 соответствует распределению N (µ; K),
выборка –
DX kXY √ “ ”
d
где K = . Доказать, что n bk XY (n) − k XY −→ ξ ∼
kY X DY
` 2 ´
∼ N 0; D X D Y + kXY .
У к а з а н и е. Вычислить µ 22, воспользоваться теоремой 5.5.
6. Выборка соответствует распределению E(λ), λ > 0. Найти предел, к
которому почти наверное сходится ν 2(n) при n → ∞.
2
О т в е т. .
λ2
„7. Выборка объема « n ≫ 1 порождена СВ X ∼ E(1). Оценить
1
P |Fb n(1) − F X (1)| 6 √ .
„ n
«
e
О т в е т. 2Φ 0 √ .
e−1
§ 6. Точечные оценки и их свойства
6.1. Теоретические положения. Пусть θ ∈ Θ⊆R1 — некоторая де-
терминированная или случайная величина (параметр), а Z n = {X k, k =
3 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
