ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5.
2) S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− X
n
)
2
называется выборочной дисперсией.
3) ν
r
(n) =
1
n
n
X
k=1
(X
k
)
r
, r = 1, 2, . . . , называется выборочным началь-
ным моментом r-го порядка.
4)
µ
r
(n) =
1
n
n
X
k=1
(X
k
−
X
n
)
r
, r = 1, 2, . . . , называется выборочным
центральным моментом r-го порядка.
Заметим, что
X
n
= ν
1
(n), а S
n
2
=
µ
2
(n).
Пусть распределение F (x) таково, что существуют следующие теоре-
тические моменты любого элемента X
k
выборки: m
X
= M{X
k
}, D
X
=
= D{X
k
}, ν
r
= M{(X
k
)
r
}, µ
r
= M{(X
k
− m
X
)
r
}, r = 2, 3, . . . . Тогда
справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а 5.1. При неограниченном увеличении объема выборки n
выборочные моменты
ν
r
(n) и µ
r
(n), r = 1, 2, . . . почти наверное схо-
дятся к теоретическим моментам ν
r
и µ
r
соответственно.
С л е д с т в и е 5.1. Если m
X
= M{X
k
} существует, то
X
n
п.н.
−−−→ m
X
,
n → ∞. Если ν
2
существует, то
S
n
2
п.н.
−−−→ D
X
, n → ∞.
При определенных дополнительных условиях выборочные моменты
обладают с войством асимптотической нормальности.
Т е о р е м а 5.2. Пусть для некоторого r > 1 существует и конечен
момент ν
2r
. Тогда
√
n (ν
r
(n) −ν
r
)
d
−→ ξ ∼ N(0; ν
2r
− ν
r
2
), n → ∞.
С л е д с т в и е 5.2. Если D
X
< ∞, то
√
n
X
n
− m
X
d
−→ ξ ∼ N(0; D
X
), n → ∞.
Если ν
4
< ∞, то
√
n (ν
2
(n) − ν
2
)
d
−→ ξ ∼ N(0; ν
4
− D
X
2
), n → ∞.
Из приведенных выше утверждений следует, что пр и n ≫ 1 выбо-
рочные моменты
ν
r
(n) и µ
r
(n) практически не отличаются от своих
теоретических значений ν
r
и µ
r
. Кроме того, можно считать, что
ν
r
(n) ∼
∼ N
ν
r
;
ν
2r
− ν
r
2
n
, если n ≫ 1.
Пусть выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена СВ X с функцией
распределения F (x). Для любого x ∈ R
1
введем событие A
X
= {X 6
6 x}, тогда P(A
X
) = F (x). Обозначим через M
n
(x) случайное число
элементов выборки, не превосходящих x.
О п р е д е л е н и е 5.8. Случайная функция
b
F
n
(x) =
M
n
(x)
n
, x ∈ R
1
,
называется выборочной (эмпирической) функцией распределения СВ X.
§ 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 29
При достаточно больших n функция
b
F
n
(x) весьма точно аппрокси-
мирует функцию распределения F(x), которой соответствует выборка, о
чем свиде тельствуют следующие утверждения.
Т е о р е м а 5.3 (Гливенко-Кантелли).
b
F
n
(x) сходится к F (x) почти
наверное равномерно по x при n → ∞, т.е.
sup
x∈R
1
|
b
F
n
(x) − F (x)|
п.н.
−−−→ 0, n → ∞.
Т е о р е м а 5.4. При любом x ∈ R
1
последовательность {
b
F
n
(x), n =
= 1, 2, . . . } асимптотически нормальна:
√
n
b
F
n
(x) − F (x)
d
−→ ξ ∼ N (0; F (x)(1 − F (x))) , n → ∞.
Пусть двумерная выборка {(X
k
, Y
k
), k = 1, . . . , n} порожде-
на случайным вектором ξ = {X, Y }
⊤
. Обозначи м через k
XY
=
= M{(X − m
X
)(Y − m
Y
)} = M{XY } − m
X
m
Y
ковариацию случайных
величин X и Y .
О п р е д е л е н и е 5.9. Статистика
b
k
XY
(n) =
1
n
n
X
k=1
X
k
Y
k
− X
n
Y
n
на-
зывается выборочной ковариацией случайных величин X и Y .
Т е о р е м а 5.5. Если СВ X и Y имеют конечные дисперсии, то
1) M
n
b
k
XY
(n)
o
=
n − 1
n
k
XY
;
2)
b
k
XY
(n)
п.н.
−−−→ k
XY
, n → ∞;
3) если M
|X|
4
+ |Y |
4
< ∞, то
√
n
b
k
XY
(n) − k
XY
d
−→ η ∼ N
0; µ
22
− k
2
XY
, n → ∞,
где µ
22
= M
(X − m
X
)
2
(Y − m
Y
)
2
.
5.2. Примеры.
П р и м е р 5.1. Пусть выборка Z
n
соответствует распределению F (x).
Доказать, что X
(1)
и X
(n)
имеют функции распределения, соответствен-
но, F
(1)
(x) = 1 − (1 − F (x))
n
и F
(n)
(x) = F
n
(x).
Р е ш е н и е. По определению X
(n)
= max(X
1
, . . . , X
n
), поэтому
F
(n)
(x) = P(X
(n)
6 x) = P ({X
1
6 x} · {X
2
6 x} · . . . · {X
n
6 x}) =
28 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5. § 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 29
n
2) S 2n =
1 X
(X k − X n)2 называется выборочной дисперсией. При достаточно больших n функция Fb n(x) весьма точно аппрокси-
n
k=1
мирует функцию распределения F (x), которой соответствует выборка, о
n
1 X чем свидетельствуют следующие утверждения.
3) ν r(n) = (X k)r , r = 1, 2, . . . , называется выборочным началь- Т е о р е м а 5.3 (Гливенко-Кантелли). Fb n(x) сходится к F (x) почти
n
k=1 наверное равномерно по x при n → ∞, т.е.
ным моментом r-го порядка.
n
1 X
4) µ r(n) = (X k − X n)r , r = 1, 2, . . . , называется выборочным п.н.
sup |Fb n(x) − F (x)| −−−→ 0, n → ∞.
n
k=1 x∈R 1
центральным моментом r-го порядка.
Заметим, что X n = ν 1(n), а S 2n = µ 2(n).
Пусть распределение F (x) таково, что существуют следующие теоре- Т е о р е м а 5.4. При любом x ∈ R1 последовательность {Fb n(x), n =
тические моменты любого элемента X k выборки: m X = M{X k}, D X = = 1, 2, . . . } асимптотически нормальна:
= D{X k}, ν r = M{(X k)r }, µ r = M{(X k − m X )r }, r = 2, 3, . . . . Тогда
справедливо следующее утверждение. √
d
n Fb n(x) − F (x) −→ ξ ∼ N (0; F (x)(1 − F (x))) , n → ∞.
Т е о р е м а 5.1. При неограниченном увеличении объема выборки n
выборочные моменты ν r(n) и µ r(n), r = 1, 2, . . . почти наверное схо-
дятся к теоретическим моментам ν r и µ r соответственно. Пусть двумерная выборка {(X k, Y k), k = 1, . . . , n} порожде-
п.н.
С л е д с т в и е 5.1. Если m X = M{X k} существует, то X n −−−→ m X , на случайным вектором ξ = {X, Y }⊤ . Обозначим через k XY =
п.н. = M{(X − m X )(Y − m Y )} = M{XY } − m X m Y ковариацию случайных
n → ∞. Если ν 2 существует, то S 2n −−−→ D X , n → ∞. величин X и Y .
При определенных дополнительных условиях выборочные моменты n
1 X
обладают свойством асимптотической нормальности. О п р е д е л е н и е 5.9. Статистика b
k (n) =
XY X Y − X Y на-
k k n n
n
Т е о р е м а 5.2. Пусть для некоторого r > 1 существует и конечен k=1
√ d зывается выборочной ковариацией случайных величин X и Y .
момент ν 2r. Тогда n (ν r(n) − ν r) −→ ξ ∼ N (0; ν 2r − ν 2r ), n → ∞. Т е о рnе м а 5.5.
o Если СВ X и Y имеют конечные дисперсии, то
С л е д с т в и е 5.2. Если D X < ∞, то b n−1
1) M k XY (n) = k XY ;
n
√ d п.н.
n X n − m X −→ ξ ∼ N (0; D X ), n → ∞. 2) b
k XY (n) −−−→ k XY , n → ∞;
3) если M |X|4 + |Y |4 < ∞, то
√ d
Если ν4 < ∞, то n (ν 2 (n) − ν2 ) −→ ξ ∼ N (0; ν4 − D 2X), n → ∞. √
d
Из приведенных выше утверждений следует, что при n ≫ 1 выбо- n bk XY (n) − k XY −→ η ∼ N 0; µ 22 − k 2XY , n → ∞,
рочные моменты ν r(n) и µ r(n) практически не отличаются от своих
теоретических значений νr и µr . Кроме того, можно считать, что ν r(n) ∼
где µ 22 = M (X − m X )2 (Y − m Y )2 .
ν 2r − ν 2r
∼N νr ; , если n ≫ 1.
n
Пусть выборка {X k, k = 1, . . . , n} порождена СВ X с функцией 5.2. Примеры.
распределения F (x). Для любого x ∈ R1 введем событие A X = {X 6 П р и м е р 5.1. Пусть выборка Z n соответствует распределению F (x).
6 x}, тогда P(A X ) = F (x). Обозначим через M n(x) случайное число Доказать, что X (1) и X (n) имеют функции распределения, соответствен-
элементов выборки, не превосходящих x. но, F (1)(x) = 1 − (1 − F (x))n и F (n)(x) = F n (x).
Mn (x)
О п р е д е л е н и е 5.8. Случайная функция Fb (x) = n , x ∈ R1 , Р е ш е н и е. По определению X (n) = max(X 1, . . . , X n), поэтому
n
называется выборочной (эмпирической) функцией распределения СВ X. F (n)(x) = P(X (n) 6 x) = P ({X 1 6 x} · {X 2 6 x} · . . . · {X n 6 x}) =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
