Практикум по математической статистике. Панков А.Р - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5.
4.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Пусть X, {X
k
, k = 1, 2, . . . } — независимые одинаково распределенные
СВ, а ϕ(x) — непрерывная функция. Доказать, что если M{ϕ(X)} = m
ϕ
конечно, то
1
n
n
X
k=1
ϕ(X
k
)
п.н.
−−−→ m
ϕ
, n → ∞.
У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой 4.1.
2. СВ {X
k
, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены с функцией распреде-
ления F (x). Пусть
b
F
n
(x) =
n
x
n
, где n
x
— количество опытов, в которых
произошло событие {X
k
6 x}, k 6 n. Доказать, что
b
F
n
(x)
п.н.
−−−→ F (x), n →
→ ∞.
У к а з а н и е. Смотри пример 4.3.
3. Пусть {X
k
, k = 1, 2, . . . } — независимые СВ с распределением X
k
∼
∼ Π(
√
k). Доказать, что последовательность ξ
n
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
−
√
k) сходится к
нулю почти наверное и в среднем квадратическом при n → ∞.
У к а з а н и е. Смотри теорему 4.2.
4. Пусть {X
k
∼ R[0; 1], k = 1, 2, . . . } — независимые СВ. В каких пределах
с вероятностью 0,997 будет лежать
X
n
, если n = 300?
О т в е т. [0,45; 0,55].
5. Незави симые СВ {X
k
, k = 1, 2, . . . } распределены одинаково с плотно-
стью вероятности p(x) =
(
2x exp {−x
2
}, x > 0,
0, x < 0.
Показать, что
1
n
n
X
k=1
X
k
2
п.н.
−−−→ 1, n → ∞.
У к а з а н и е. Вычислить M
˘
X
k
2
¯
.
6. Пусть {X
k
, k = 1, 2, . . . } — независимые стандартные гауссовские СВ.
Доказать, что
1
n
n
X
k=1
|X
k
|
п.н.
−−−→
r
2
π
, n → ∞.
У к а з а н и е. Найти M{|X
k
|}.
§ 5. Выборка и ее основные характеристики
5.1. Теоретические положения. Пусть X — произвольная случай-
ная величи на с функцией распределения F (x) = P(X 6 x), x ∈ R
1
.
О п р е д е л е н и е 5.1. Совокупность {X
k
, k = 1, . . . , n} независи-
мых случайных величин, имеющих одинаковые функции распределения
§ 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 27
F
X
k
(x) = F (x), называется однородной выборкой объема n, соответству-
ющей функции распределения F (x).
СВ X
k
(k = 1, . . . , n) называется k-м элементом выборки.
Из определения 5.1 следует, что выборку можно рассматривать как
случайный вектор Z
n
= {X
1
, . . . , X
n
}
⊤
с независимыми компонента-
ми. Кроме того, СВ {X
k
, k = 1, . . . , n} — независимые вероятностные
“копии” СВ X, поэтому мы также будем говорить, что выборка Z
n
порождена СВ X с распределением F (x).
О п р е д е л е н и е 5.2. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} называется гауссов-
ской, е сли Z
n
— n-мерный гауссовский вектор.
О п р е д е л е н и е 5.3. Выборка Z
n
называется неоднородной, если за-
коны распределения F
X
k
(x) ее элементов неодинаковы.
Далее полагается, что выборка Z
n
— однородная, если специально не
указано обратное.
Из приведенных определений следует, что выборка является матема-
тической моделью последовательности одинаковых опытов со случайны-
ми исходами, проводимых в неизменных условиях, причем результаты
опытов статистически независимы.
О п р е д е л е н и е 5.4. Реализацией выборки Z
n
называется неслучай-
ный вектор z
n
= {x
1
, . . . , x
n
}
⊤
, компонентами которого являются реали-
зации соответствующих элементов выборки.
Пусть z
n
= {x
1
, . . . , x
n
}
⊤
— некоторая реализация выбор-
ки Z
n
, а z
(n)
= {x
(1)
, . . . , x
(n)
}
⊤
— вектор, компонентами ко-
торого являются упорядоченные по возрастанию числа (x
1
, . . . , x
n
),
т.е. x
(1)
6 x
(2)
6 . . . 6 x
(n)
.
О п р е д е л е н и е 5.5. СВ X
(k)
, реализацией которой для каждой z
n
является число x
(k)
, называется k-й порядковой статистикой, k =
= 1, . . . , n. Случайный вектор Z
(n)
= {X
(1)
, . . . , X
(n)
}
⊤
называется
вариационным рядом выборки.
СВ X
(1)
и X
(n)
(т.е. крайние элементы вариационного ряда) называ-
ются экстремальными статистиками.
О п р е д е л е н и е 5.6. СВ Y = ϕ (X
1
, . . . , X
n
), где ϕ(x
1
, . . . , x
n
) —
произвольная (борелевская) функция на R
n
, называется статистикой.
Обычно предполагается, что в случае, когда функция распределения
F (x), которой соответствует выборка, зависит от некоторого вектора θ
неизвестных параметров, ϕ(x
1
, . . . , x
n
) не зависит от θ.
Рассмотрим некоторые важнейшие для приложений виды статистик.
О п р е д е л е н и е 5.7.
1)
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
называется выборочным средним.
26                   ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ                    § 5.   § 5.                     ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ                     27

     4.3. Задачи для самостоятельного решения.                                      F Xk (x) = F (x), называется однородной выборкой объема n, соответству-
   1. Пусть X, {X k, k = 1, 2, . . . } — независимые одинаково распределенные       ющей функции распределения F (x).
СВ, а ϕ(x) — непрерывная функция. Доказать, что если M{ϕ(X)} = m ϕ                      СВ X k (k = 1, . . . , n) называется k-м элементом выборки.
конечно, то
                             n                                                          Из определения 5.1 следует, что выборку можно рассматривать как
                          1 X           п.н.
                                ϕ(X k) −−−→ m ϕ,      n → ∞.                        случайный вектор Z n = {X 1, . . . , X n}⊤ с независимыми компонента-
                          n k=1
                                                                                    ми. Кроме того, СВ {X k, k = 1, . . . , n} — независимые вероятностные
   У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой 4.1.                                   “копии” СВ X, поэтому мы также будем говорить, что выборка Z n
   2. СВ {X k, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены с функцией распреде-        порождена СВ X с распределением F (x).
                                  nx
ления F (x). Пусть Fb n(x) =         , где n x — количество опытов, в которых           О п р е д е л е н и е 5.2. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} называется гауссов-
                                     n
                                                              п.н.                  ской, если Z n — n-мерный гауссовский вектор.
произошло событие {X k 6 x}, k 6 n. Доказать, что Fb n(x) −−−→ F (x), n →
→ ∞.
                                                                                        О п р е д е л е н и е 5.3. Выборка Z n называется неоднородной, если за-
   У к а з а н и е. Смотри пример 4.3.                                              коны распределения F Xk (x) ее элементов неодинаковы.
   3. Пусть {X k, k = 1, 2, . . . } — независимые СВ с распределением X k ∼             Далее полагается, что выборка Z n — однородная, если специально не
    √                                                n
                                                   1 X         √                    указано обратное.
∼ Π( k). Доказать, что последовательность ξn =          (X k − k) сходится к            Из приведенных определений следует, что выборка является матема-
                                                        n   k=1
нулю почти наверное и в среднем квадратическом при n → ∞.                           тической моделью последовательности одинаковых опытов со случайны-
    У к а з а н и е. Смотри теорему 4.2.                                            ми исходами, проводимых в неизменных условиях, причем результаты
    4. Пусть {X k ∼ R[0; 1], k = 1, 2, . . . } — независимые СВ. В каких пределах   опытов статистически независимы.
с вероятностью 0,997 будет лежать X n, если n = 300?                                    О п р е д е л е н и е 5.4. Реализацией выборки Z n называется неслучай-
    О т в е т. [0,45; 0,55].                                                        ный вектор z n = {x1 , . . . , xn }⊤ , компонентами которого являются реали-
    5. Независимые СВ {X k, k = 1, 2, . . . } распределены одинаково с плотно-      зации соответствующих элементов выборки.
                             (
                               2x exp {−x2 }, x > 0,                                    Пусть z n = {x1 , . . . , xn }⊤ — некоторая реализация выбор-
стью вероятности p(x) =                                                             ки Z n, а z (n) = {x (1), . . . , x (n)}⊤ — вектор, компонентами ко-
                               0, x < 0.
                        n                                                           торого являются упорядоченные по возрастанию числа (x1 , . . . , xn ),
                     1 X       п.н.
     Показать, что        X 2 −−−→ 1, n → ∞.                                        т.е. x (1) 6 x (2) 6 . . . 6 x (n).
                     n k=1 k
                                     ˘ ¯                                                О п р е д е л е н и е 5.5. СВ X (k), реализацией которой для каждой z n
     У к а з а н и е. Вычислить M X 2k .
                                                                                    является число x (k), называется k-й порядковой статистикой, k =
     6. Пусть {X k, k = 1, 2, . . . }r— независимые стандартные гауссовские СВ.
                 1 Xn
                              п.н.       2                                          = 1, . . . , n. Случайный вектор Z (n) = {X (1), . . . , X (n)}⊤ называется
Доказать, что          |X k| −−−→          , n → ∞.                                 вариационным рядом выборки.
                 n k=1                   π
     У к а з а н и е. Найти M{|X k|}.                                                   СВ X (1) и X (n) (т.е. крайние элементы вариационного ряда) называ-
                                                                                    ются экстремальными статистиками.
                                                                                        О п р е д е л е н и е 5.6. СВ Y = ϕ (X 1, . . . , X n), где ϕ(x1 , . . . , xn ) —
                                                                                    произвольная (борелевская) функция на Rn , называется статистикой.
         § 5. Выборка и ее основные характеристики                                      Обычно предполагается, что в случае, когда функция распределения
                                                                                    F (x), которой соответствует выборка, зависит от некоторого вектора θ
                                                                                    неизвестных параметров, ϕ(x1 , . . . , xn ) не зависит от θ.
   5.1. Теоретические положения. Пусть X — произвольная случай-                         Рассмотрим некоторые важнейшие для приложений виды статистик.
ная величина с функцией распределения F (x) = P(X 6 x), x ∈ R1 .                        О п р е д е л е н и е 5.7.
                                                                                                        n
   О п р е д е л е н и е 5.1. Совокупность {X k, k = 1, . . . , n} независи-                          1 X
                                                                                           1) X n =       X k называется выборочным средним.
мых случайных величин, имеющих одинаковые функции распределения                                       n
                                                                                                       k=1

Страницы