ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 4.
Следующее утверждение показывает, как будет вести себя последо-
вательность выборочных средних, если СВ {X
k
, k = 1, 2, . . . } не имеют
конечного среднего (наприм ер, X
k
имеет распределение Кош и).
Т е о р е м а 4.3. Пусть {X
k
, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены,
но M{X
k
} не существует ни при каких k = 1, 2, . . . . Тогда последо-
вательность {
X
n
, n = 1, 2, . . . } с вероятностью 1 неограничена, т.е.
P
sup
n>1
|
X
n
| > C
= 1 для любого C > 0.
Весьма часто последовательность выборочных средних асимптотиче-
ски нормальна (см. определение 3.2).
Т е о р е м а 4.4. Пусть {X
k
, k = 1, 2, . . . } — последовательность
независимых одинаково распределенных СВ, причем M
X
k
2
< ∞, k =
= 1, 2, . . . . Тогда
√
n(X
n
− a)
d
−→ X ∼ N(0; σ
2
), n → ∞, (4.2)
где σ =
q
D{X
k
}, a = M{X
k
}, k = 1, 2, . . . .
Утверждение (4.2) позволяет пользоваться при n ≫1 приближенным
соотношением:
X
n
∼ N
a;
σ
2
n
. (4.3)
Для случая, когда СВ {X
k
, k = 1, 2, . . . } распре делены неодинаково,
аналог теоремы 4.4 можно получить, используя теорему 3.5 Ляпунова.
Т е о р е м а 4.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.5, тогда
n
D
n
X
n
− a
n
d
−→ X ∼ N(0; 1), n → ∞.
Аналогично (4.3), в данном случае можно считать, что
X
n
∼ N
a
n
;
D
n
2
n
2
. (4.4)
4.2. Примеры.
П р и м е р 4.1. Пусть {ξ
k
, k = 1, 2, . . . , n} — независимые СВ, причем
ξ
k
∼ R[0; 1], k = 1, 2, . . . . Показать, что Y
n
=
1
n
n
X
k=1
(ξ
k
)
2
при n → ∞
сходится почти наверное к
1
3
.
§ 4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 23
Р е ш е н и е. По условию M{ξ
k
} =
1
2
, D{ξ
k
} =
1
12
. Пусть X
k
=
= ξ
k
2
, тогда {X
k
, k = 1, 2, . . . , n} независимы и одинаково распределены,
причем M{X
k
} = M
(ξ
k
)
2
= D{ξ
k
} + (M{ξ
k
})
2
=
1
12
+
1
4
=
1
3
. Таким
образом, Y
n
=
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
п.н.
−−−→ M{X
1
} =
1
3
при n → ∞ по
теореме 4.1 А.Н. Колмогорова.
П р и м е р 4.2. Доказать, что в условиях теоремы 4.2 X
n
с.к.
−−−→ a, n →
→ ∞.
Р е ш е н и е. M
X
n
= M
(
1
n
n
X
k=1
X
k
)
=
1
n
n
X
k=1
a =
na
n
= a. D
X
n
=
=
1
n
2
n
X
k=1
D{X
k
} =
1
n
2
n
X
k=1
D
k
→ 0, n → ∞. Действительно, известная
лемма Кронекера утверждает, что если числовые последовательности
{v
k
} и {u
k
} таковы, что
∞
X
k=1
v
k
< ∞, 0 < u
n
↑ ∞, n → ∞, то
1
u
n
n
X
k=1
v
k
u
k
→
→ 0, n → ∞. Теперь положим v
k
=
D
k
k
2
, u
k
= k
2
и заметим, что
∞
X
k=1
v
k
=
=
∞
X
k=1
D
k
k
2
< ∞ по условию. Тогда
1
u
n
n
X
k=1
v
k
u
k
=
1
n
2
n
X
k=1
D
k
→ 0, n → ∞.
Таким образом, M
|
X
n
− a|
2
= D
X
n
→ 0, n → ∞, т.е.
X
n
с.к.
−−−→ a,
n → ∞.
П р и м е р 4.3. Пусть P
n
∗
(A) =
n(A)
n
— частота появления случайного
события A в серии из n независимых одинаковых опытов, а n(A) — коли-
чество опытов, в которых A произошло. Доказать, что P
n
∗
(A)
п.н.
−−−→ P(A),
n → ∞ и P
n
∗
(A)
с.к.
−−−→ P(A), n → ∞, где P(A) — вероятность события A.
Р е ш е н и е. По условию n(A) =
n
X
k=1
X
k
, где {X
k
, k = 1, 2, . . . } —
независимые СВ с распределением Бернулли, причем P(X
k
= 1) = P(A).
Поэтому M{X
k
} = p, D{X
k
} = pq, где p = P(A), q = 1 − p. Таким
образом, P
n
∗
(A) =
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
п.н.
−−−→ p, n → ∞ по теореме 4.1, так
как p = M{X
k
} ∈ [0; 1]. Очевидно, что M{P
n
∗
(A)} =
1
n
n
X
k=1
M{X
k
} = p,
22 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 4. § 4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 23
Следующее утверждение показывает, как будет вести себя последо- Р е ш е н и е. По условию M{ξ k} = 21 , D{ξ k} = 12 1
. Пусть X k =
вательность выборочных средних, если СВ {X k, k = 1, 2, . . . } не имеют 2
= ξ k, тогда {X k, k = 1, 2, . . . , n} независимы и одинаково распределены,
конечного среднего (например, X k имеет распределение Коши). 2 1 1 1
Т е о р е м а 4.3. Пусть {X k, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены, причем M{X k} = M (ξ k)2 = D{ξ k} + (M{ξ k}) = + = . Таким
12 4 3
n
но M{X k} не существует ни при каких k = 1, 2, . . . . Тогда последо- 1 X п.н. 1
образом, Y n = X n = X k −−−→ M{X 1} = при n → ∞ по
вательность
{Xn, n = 1, 2, . . . } с вероятностью 1 неограничена, т.е. n
k=1
3
теореме 4.1 А.Н. Колмогорова.
P sup |X n| > C = 1 для любого C > 0.
n>1 с.к.
П р и м е р 4.2. Доказать, что в условиях теоремы 4.2 X n −−−→ a, n →
Весьма часто последовательность выборочных средних асимптотиче-
→ ∞.
ски нормальна (см. определение 3.2). ( )
Т е о р е м а 4.4. Пусть {X k, k = 1, 2, . . . } — последовательность n n
1 X 1 X na
Р е ш е н и е. M X n = M Xk = a= = a. D X n =
независимых одинаково распределенных СВ, причем M X 2k < ∞, k = n n n
k=1 k=1
= 1, 2, . . . . Тогда n n
1 X 1 X
= 2 D{X k} = 2 D k → 0, n → ∞. Действительно, известная
√ d n n
n(X n − a) −→ X ∼ N (0; σ 2 ), n → ∞, (4.2) k=1 k=1
лемма Кронекера утверждает, что если числовые последовательности
q ∞
X n
1 X
где σ = D{X k}, a = M{X k}, k = 1, 2, . . . . {v k} и {u k} таковы, что v k < ∞, 0 < u n ↑ ∞, n → ∞, то v ku k →
un
k=1 k=1
Утверждение (4.2) позволяет пользоваться при n ≫ 1 приближенным ∞
X
D
соотношением: → 0, n → ∞. Теперь положим v k = 2k , u k = k 2 и заметим, что vk =
k
k=1
σ2 ∞
X n n
X n ∼ N a; . (4.3) Dk 1 X 1 X
n = < ∞ по условию. Тогда v ku k = 2 D k → 0, n → ∞.
k2 un n
k=1 k=1 k=1
Для случая, когда СВ {X k, k = 1, 2, . . . } распределены неодинаково, с.к.
Таким образом, M |X n − a|2 = D X n → 0, n → ∞, т.е. X n −−−→ a,
аналог теоремы 4.4 можно получить, используя теорему 3.5 Ляпунова. n → ∞.
Т е о р е м а 4.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.5, тогда
n(A)
d П р и м е р 4.3. Пусть P ∗n(A) = — частота появления случайного
n n
X n − a n −→ X ∼ N (0; 1), n → ∞. события A в серии из n независимых одинаковых опытов, а n(A) — коли-
Dn
п.н.
чество опытов, в которых A произошло. Доказать, что P ∗n(A) −−−→ P(A),
Аналогично (4.3), в данном случае можно считать, что с.к.
n → ∞ и P ∗n(A) −−−→ P(A), n → ∞, где P(A) — вероятность события A.
D2 n
X
X n ∼ N a n; 2n . (4.4) Р е ш е н и е. По условию n(A) = X k, где {X k, k = 1, 2, . . . } —
n
k=1
независимые СВ с распределением Бернулли, причем P(X k = 1) = P(A).
4.2. Примеры. Поэтому M{X k} = p, D{X k} = pq, где p = P(A), q = 1 − p. Таким
n
П р и м е р 4.1. Пусть {ξ k, k = 1, 2, . . . , n} — независимые СВ, причем 1 X п.н.
n образом, P ∗n(A) = X n = X k −−−→ p, n → ∞ по теореме 4.1, так
1 X n
ξ k ∼ R[0; 1], k = 1, 2, . . . . Показать, что Y n = (ξ k)2 при n → ∞ k=1
n
n 1 X
1
k=1
как p = M{X k} ∈ [0; 1]. Очевидно, что M{P ∗n(A)} = M{X k} = p,
сходится почти наверное к 3.
n
k=1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
