ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3.
Таким образом, условия теоремы 3.5 Ляпунова выполнены. Поэтому
e
X
n
=
X
n
− A
n
D
n
= 3
√
2
X
n
√
2n
3
+ 3n
2
+ n
d
−→ X ∼ N(0; 1), n → ∞, что и
требовалось доказать.
3.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Вероятность рождения мальчика равна 0,52, девочки — 0,48. Какова
вероятность того, что среди 10000 но ворожденных детей девочек будет не
меньше, чем мальчиков?
О т в е т. 3 ·10
−5
.
2. Длина шага человека и меет равномерное распределение на промежутке
[0,9; 1,1] (в метрах). Какова вероятность того, что, сделав 100 шагов, он пройдет
не менее 105 метров? В каких пределах с вероятностью 0, 95 может лежать
пройденный путь L?
О т в е т. P(L > 105)
∼
=
0; P(98,86 6 L 6 101,14)
∼
=
0,95.
3. В результате 100 подбрасываний монеты “герб” выпал 70 раз. Насколько
правдоподобным является предположение о симметричности монеты?
У к а з а н и е. Вычислить P(X
n
> 70) в предположении, что p = 0,5.
О т в е т. Предположение симметричности неправдоподобно.
4. Случайная величина X
n
имеет распределение хи-квадрат с n степенями
свободы, т.е. X
n
=
n
X
k=1
ξ
k
2
, где ξ
k
∼ N(0; 1), k = 1, . . . , n и независимы в
совокупности. Доказать, что X
n
∼ N(n; 2n), если n ≫ 1.
У к а з а н и е. Показать, что
X
n
− n
√
2n
ff
асимптотически нормальна.
5. Производственный процесс состоит из 100 независимых операций, вы-
полняемых одна за другой. Длительность каждой операции τ
k
(сек) имеет
экспоненциальное расп ределение. Известно, что P(τ
k
6 1) = 1 −
1
√
e
. Какова
вероятность того, что длительность T процесса превысит одну минуту?
О т в е т. 1 − Φ(2)
∼
=
0,023.
6. Случайная величина X
n
имеет распр еделение Пуассона с параметром n
(X
k
∼ Π(n)). Доказать, что последовательность Y
n
=
X
n
− n
√
n
асимптотически
нормальна.
У к а з а н и е. Показать, что X
n
=
n
X
k=1
ξ
k
, где ξ
k
∼ Π(1).
7. Случайные величины ξ
k
независимы в совокупности и распределены по
закону R[0; 1]. Вычислить lim
n→∞
P
n
Y
k=1
ξ
k
6 e
−n
!
.
О т в е т. 0,5.
§ 4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 21
8. Необходимо сложить миллион чисел, округленных до пятого десятич-
ного знака. Считая, что ошибки округления всех чисел независимы в сово-
купности и распределены равномерно на соответствующем интервале, найти
пределы, в которых суммарная ошибка округления δ лежит с вероятностью
0,95.
О т в е т. |δ| 6 0,00566.
§ 4. Закон больших чисел
4.1. Теоретические положения. Во всех приводимых ниже
утверждениях (теоремы 4.1-4.5) предполагается, что {X
k
, k =
= 1, 2, . . . } — последовательность независимых СВ.
О п р е д е л е н и е 4.1. Выборочным средним называется СВ
X
n
=
1
n
n
X
k=1
X
k
, n = 1, 2, . . . .
Законом больших чисел называется совокупность утверждений о по-
ведении последовательности {
X
n
, n = 1, 2, . . . } выборочных средних при
n → ∞.
Будем далее обозначать M{X
k
} = a
k
, D{X
k
} = D
k
= σ
k
2
.
Т е о р е м а 4.1. Если {X
k
, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены и
M{X
k
} = a конечно, то
X
n
п.н.
−−−→ a, n → ∞.
Теорема 4.1 называется “Усиленный закон больших чисел А.Н. Кол-
могорова”.
Т е о р е м а 4.2. Если M{X
k
} = a, D{X
k
} = D
k
< ∞, причем
∞
X
k=1
D
k
k
2
< ∞, (4.1)
то
X
n
п.н.
−−−→ a, n → ∞ и
X
n
с.к.
−−−→ a, n → ∞.
С л е д с т в и е 4.1. Если a
k
= a, D
k
6
D < ∞ ∀k = 1, 2, . . . , то
утверждение теоремы 4.2 справедливо.
Пусть теперь {a
k
} не одинаковы. Обозначим
a
n
=
1
n
n
X
k=1
a
k
.
С л е д с т в и е 4.2. Если выполнено условие (4.1), то
X
n
− a
n
п.н.
−−−→ 0, n → ∞; X
n
− a
n
с.к.
−−−→ 0, n → ∞.
20 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3. § 4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 21
Таким образом, условия теоремы 3.5 Ляпунова выполнены. Поэтому 8. Необходимо сложить миллион чисел, округленных до пятого десятич-
√
en = Xn − An = 3 2 √
X
Xn d
−→ X ∼ N (0; 1), n → ∞, что и
ного знака. Считая, что ошибки округления всех чисел независимы в сово-
Dn 3 2 2n + 3n + n купности и распределены равномерно на соответствующем интервале, найти
требовалось доказать. пределы, в которых суммарная ошибка округления δ лежит с вероятностью
0,95.
О т в е т. |δ| 6 0,00566.
3.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Вероятность рождения мальчика равна 0,52, девочки — 0,48. Какова
вероятность того, что среди 10000 новорожденных детей девочек будет не
меньше, чем мальчиков?
§ 4. Закон больших чисел
О т в е т. 3 · 10−5 .
2. Длина шага человека имеет равномерное распределение на промежутке
[0,9; 1,1] (в метрах). Какова вероятность того, что, сделав 100 шагов, он пройдет 4.1. Теоретические положения. Во всех приводимых ниже
не менее 105 метров? В каких пределах с вероятностью 0, 95 может лежать утверждениях (теоремы 4.1-4.5) предполагается, что {X k, k =
пройденный путь L? = 1, 2, . . . } — последовательность независимых СВ.
О т в е т. P(L > 105) ∼= 0; P(98,86 6 L 6 101,14) ∼
= 0,95. О п р е д е л е н и е 4.1. Выборочным средним называется СВ
3. В результате 100 подбрасываний монеты “герб” выпал 70 раз. Насколько
n
правдоподобным является предположение о симметричности монеты? 1 X
У к а з а н и е. Вычислить P(X n > 70) в предположении, что p = 0,5.
Xn = X k, n = 1, 2, . . . .
n
k=1
О т в е т. Предположение симметричности неправдоподобно.
4. Случайная величина X n имеет распределение хи-квадрат с n степенями Законом больших чисел называется совокупность утверждений о по-
n
ведении последовательности {X n, n = 1, 2, . . . } выборочных средних при
свободы, т.е. X n = ξ 2k, где ξk ∼ N (0; 1), k = 1, . . . , n и независимы в
X
k=1
n → ∞.
совокупности. Доказать, что X n ∼ N (n;ff
2n), если n ≫ 1. Будем далее обозначать M{X k} = a k, D{X k} = D k = σ 2k.
Xn − n Т е о р е м а 4.1. Если {X k, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены и
У к а з а н и е. Показать, что √ асимптотически нормальна. п.н.
2n M{X k} = a конечно, то X n −−−→ a, n → ∞.
5. Производственный процесс состоит из 100 независимых операций, вы- Теорема 4.1 называется “Усиленный закон больших чисел А.Н. Кол-
полняемых одна за другой. Длительность каждой операции τ k (сек) имеет могорова”.
1 Т е о р е м а 4.2. Если M{X k} = a, D{X k} = D k < ∞, причем
экспоненциальное распределение. Известно, что P(τ k 6 1) = 1 − √ . Какова
e
вероятность того, что длительность T процесса превысит одну минуту? ∞
X Dk
О т в е т. 1 − Φ(2) ∼
= 0,023. < ∞, (4.1)
k2
6. Случайная величина X n имеет распределение Пуассона с параметром n k=1
Xn − n п.н. с.к.
(X k ∼ Π(n)). Доказать, что последовательность Y n = √ асимптотически то X n −−−→ a, n → ∞ и X n −−−→ a, n → ∞.
n
нормальна. С л е д с т в и е 4.1. Если a k = a, D k 6 D < ∞ ∀k = 1, 2, . . . , то
n
У к а з а н и е. Показать, что X n =
X
ξk , где ξk ∼ Π(1). утверждение теоремы 4.2 справедливо.
n
k=1 1 X
Пусть теперь {a k} не одинаковы. Обозначим a n = a k.
7. Случайные величины ξk независимы в совокупности
! и распределены по n
k=1
n
закону R[0; 1]. Вычислить lim P
Y
ξk 6 e−n . С л е д с т в и е 4.2. Если выполнено условие (4.1), то
n→∞
k=1 п.н. с.к.
О т в е т. 0,5. X n − a n −−−→ 0, n → ∞; X n − a n −−−→ 0, n → ∞.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
