Практикум по математической статистике. Панков А.Р - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 4.
а D{P
n
∗
(A)} =
1
n
2
n
X
k=1
D{X
k
} =
npq
n
2
=
pq
n
. Поэтому M
|P
n
∗
(A) − p|
2
=
= D{P
n
∗
(A)} =
pq
n
→ 0, n → ∞. Последнее означает, что P
n
∗
(A)
с.к.
−−−→ p,
n → ∞.
П р и м е р 4.4. В условиях примера 4.3 оценить минимальное число
опытов n, при котором P (|P
n
∗
(A) − P(A)| 6 0,1) > 0,95.
Р е ш е н и е. Из теоремы 4.4 и решения примера 4.3 следует, что
√
n (P
n
∗
(A) − p)
d
−→ X ∼ N(0; pq), n → ∞. Поэтому при n ≫ 1 можно
считать, что ξ = P
n
∗
(A) − p ∼ N
0;
pq
n
. Отсюда P(|ξ| 6 0,1) =
P(−0,1 6 ξ 6 0,1) = Φ
0,1
√
n
√
pq
− Φ
−
0,1
√
n
√
pq
= 2Φ
0
0,1
√
n
√
pq
, где
Φ
0
(z) =
1
2π
z
Z
0
e
−t
2
/
2
dt.
Решая неравенство 2Φ
0
0,1
√
n
√
pq
> 0,95, по таблице 13.1 находим:
0,1
√
n
√
pq
> 1,96. Отсюда следует: n > (19,6)
2
·pq = 384,2·pq. Таким образом,
n = [384,2 · pq] + 1.
Если p неизвестна, то можно получить гарантированную оценку n
гар
необходимого числа опытов, справедливую для любой вероятности p.
Действительно, max
p∈[0;1]
p(1 − p) = 0,25 и достигается при p = q = 0,5,
поэтому pq 6 0,25 при любом p ∈ [0; 1]. Отсюда n
гар
> 384,2 · 0,25 =
= 96,05. Итак, n
гар
= 97.
П р и м е р 4.5. Пусть СВ X
k
∼ E(k), k = 1, 2, . . . и независимы.
Доказать, что ξ
n
=
1
n
n
X
k=1
ξ
k
, где ξ
k
= X
k
−
1
k
сходится в среднем
квадратическом к нулю.
Р е ш е н и е. По условию M{X
k
} =
1
k
, D{X
k
} =
1
k
2
. Поэтому M{ξ
k
} =
= M
n
X
k
−
1
k
o
= 0, D{ξ
k
} = D{X
k
} =
1
k
2
, k = 1, 2, . . . . Отсюда
заключаем, что
M
ξ
n
=
1
n
n
X
k=1
M{ξ
k
} = 0;
D
ξ
n
=
1
n
2
n
X
k=1
D{ξ
k
} =
1
n
2
n
X
k=1
1
k
2
6
C
n
2
→ 0, n → ∞,
§ 4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 25
где C =
∞
X
k=1
1
k
2
< ∞. Итак, M
ξ
n
2
= D
ξ
n
→ 0, n → ∞, т.е.
ξ
n
с.к.
−−−→ 0,
n → ∞.
24                                      ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ                         § 4.   § 4.                           ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ                       25

                              n                                                                     ∞                              
               1 X             npq   pq                                                              X 1                                                        с.к.
а D{P ∗n(A)} =        D{X k} = 2 =      . Поэтому M |P ∗n(A) − p|2 =                       где C =              < ∞. Итак, M ξ 2n = D ξ n → 0, n → ∞, т.е. ξ n −−−→ 0,
               n2              n     n                                                                     k2
                  k=1                                                                                k=1
               pq                                               с.к.                       n → ∞.
= D{P ∗n(A)} =     → 0, n → ∞. Последнее означает, что P ∗n(A) −−−→ p,
                n
n → ∞.
   П р и м е р 4.4. В условиях примера 4.3 оценить минимальное число
опытов n, при котором P (|P ∗n(A) − P(A)| 6 0,1) > 0,95.
   Р е ш е н и е. Из теоремы 4.4 и решения примера 4.3 следует, что
√                  d
  n (P ∗n(A) − p) −→ X ∼ N (0; pq), n → ∞.Поэтому при n ≫ 1 можно
                                         pq
считать, что ξ = P ∗n(A) − p ∼     N 0;
                                        n . √Отсюда        6√ 0,1)
                                                         P(|ξ|       =
                               √                
                            0,1 n          0,1 n              0,1 n
P(−0,1 6 ξ 6 0,1) = Φ √             −Φ − √          = 2Φ0 √          , где
                                              pq                 pq            pq
              Zz
          1
                   e−t /2 dt.
                      2
Φ0 (z) =
         2π
              0                                 √ 
                                              0,1 n
     Решая неравенство 2Φ0                     √     > 0,95, по таблице 13.1 находим:
                                                 pq
   √
0,1 n
 √    > 1,96. Отсюда следует: n > (19,6)2 ·pq = 384,2·pq. Таким образом,
   pq
n = [384,2 · pq] + 1.
   Если p неизвестна, то можно получить гарантированную оценку n гар
необходимого числа опытов, справедливую для любой вероятности p.
Действительно, max p(1 − p) = 0,25 и достигается при p = q = 0,5,
                          p∈[0;1]
поэтому pq 6 0,25 при любом p ∈ [0; 1]. Отсюда n гар > 384,2 · 0,25 =
= 96,05. Итак, n гар = 97.
     П р и м е р 4.5. Пусть СВ X k ∼ E(k), k = 1, 2, . . . и независимы.
                                      n
                                    1 X                     1
Доказать, что ξ n =                     ξk , где ξk = X k −   сходится в среднем
                                    n                       k
                                        k=1
квадратическом к нулю.
                                                             1        1
   Р е ш е н и е. По условию M{X k} = , D{X k} = 2 . Поэтому M{ξk } =
     n           o                    k           k
               1                              1
= M Xk −           = 0, D{ξk } = D{X k} = 2 , k = 1, 2, . . . . Отсюда
               k                             k
заключаем, что
                                   n
                                 1 X
                         M ξn =       M{ξk } = 0;
                                                   n
                                                       k=1

                                 n
                                  X                    n
                 1                                 1 X 1      C
          D ξn = 2                      D{ξk } =     2
                                                            6 2 → 0,      n → ∞,
                            n                      n     k2  n
                                  k=1                   k=1

Страницы