ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3.
Пусть F
n
(x) и F
X
(x) — функции распределения, соответственно, X
n
и X.
Т е о р е м а 3.1. Следующие три утверждения эквивалентны:
1) X
n
d
−→ X, n → ∞;
2) F
n
(x) → F
X
(x), n → ∞ для любой точки непрерывности функции
F
X
(x);
3) M{g(X
n
)} → M{g(X)}, n → ∞ для любой непрерывной и ограни-
ченной на R
1
функции g(x).
Т е о р е м а 3.2. Если X
n
p
−→ X, n → ∞, то X
n
d
−→ X, n → ∞.
Таким образом, слабая сходимость случайной последовательности
следует из сходимости по вероятности, а, следовательно, из сходимости
почти наверное и сходимости в среднем квадратическом.
В одном важном частном случае сходимость по распределению и
сходимость по вероятности эквивалентны: если X
n
d
−→ a, n → ∞, где
a = const, то X
n
p
−→ a, n → ∞.
Для установления факта слабой сходимости обычно используется
следующ ее утверждение.
Т е о р е м а 3.3. Пусть Ψ
n
(λ) и Ψ(λ) — характеристические функции,
соответственно, X
n
и X. Пусть также для любого λ ∈ R
1
Ψ
n
(λ) → Ψ(λ), n → ∞.
Тогда X
n
d
−→ X, n → ∞.
Особое значение в статистике имеет случай, когда предельная случай-
ная величи на X имеет нормальное распределение.
О п р е д е л е н и е 3.2. Последовательность {X
n
, n = 1, 2, . . . } называ-
ется асимптотически нормальной с параметрами (m; σ
2
), если
X
n
d
−→ X, n → ∞, где X ∼ N(m; σ
2
). (3.3)
Из опреде ления 3.2 и теоремы 3.1 следует, что для любого x ∈ R
1
F
n
(x) → Φ
x − m
σ
, n → ∞. (3.4)
Практическое значение (3.4) состоит в том, что СВ X
n
можно считать
нормально распределенной с параметрами (m; σ
2
), если n достаточно
велико.
§ 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 17
Пусть теперь {ξ
k
, k = 1, 2, . . . } — последовательность независимых
случайных величин с параметрами
M{ξ
k
} = a; D{ξ
k
} = σ
2
> 0.
Рассмотрим случайную последовательность сумм этих величин:
X
n
=
n
X
k=1
ξ
k
, n = 1, 2, . . . (3.5)
Очевидно, M{X
n
} = na, D{X
n
} = nσ
2
.
Введем стандартизованную сумму
e
X
n
=
X
n
− na
σ
√
n
, n = 1, 2, . . . (3.6)
Нетрудно проверить, что M
n
e
X
n
o
= 0, D
n
e
X
n
o
= 1.
Следующее утверждение, называемое центральной предельной тео-
ремой (ЦПТ), имеет особое значение для математической статистики.
Т е о р е м а 3.4 (ЦПТ для одинаково распределенных слагаемых).
Пусть случайные величины {ξ
k
, k = 1, 2, . . . } одинаково распределены,
тогда последовательность {
e
X
n
, n = 1, 2, . . . } асимптотически нор-
мальна с параметрами (0; 1).
С л е д с т в и е 3.1. Для любых чисел a 6 b выполнено
P(a 6
e
X
n
6 b) → Φ(b) − Φ(a), n → ∞. (3.7)
С л е д с т в и е 3.2 (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Пусть
X
n
— число успехов в серии из n испытаний Бернулли, а p — вероят-
ность успеха в одном испытании. Тогда при n → ∞
X
n
− np
p
np(1 − p)
d
−→ X ∼ N(0; 1). (3.8)
Если слагаемые {ξ
k
, k = 1, 2, . . . } распределены не одинаково, то
утверждение, аналогичное ЦПТ, останется в силе при некоторых допол-
нительных ограничениях.
Пусть M{ξ
k
} = a
k
, D{ξ
k
} = σ
k
2
, M
|ξ
k
− a
k
|
3
= c
k
3
. Обозначим A
n
=
= M{X
n
} =
n
X
k=1
a
k
, D
n
2
= D{X
n
} =
n
X
k=1
σ
k
2
, C
n
3
=
n
X
k=1
c
k
3
.
Т е о р е м а 3.5 (Ляпунов). Пусть A
n
, D
n
, C
n
конечны при всех n > 1,
причем
C
n
D
n
→ 0, n → ∞. Тогда последовательность {
e
X
n
, n = 1, 2, . . . },
где
e
X
n
=
X
n
− A
n
D
n
, асимптотически нормальна с параметрами (0; 1).
2 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
16 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3. § 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 17
Пусть F n(x) и F X (x) — функции распределения, соответственно, X n Пусть теперь {ξk , k = 1, 2, . . . } — последовательность независимых
и X. случайных величин с параметрами
Т е о р е м а 3.1. Следующие три утверждения эквивалентны: M{ξk } = a; D{ξk } = σ 2 > 0.
d
1) X n −→ X, n → ∞; Рассмотрим случайную последовательность сумм этих величин:
2) F n(x) → F X (x), n → ∞ для любой точки непрерывности функции
n
X
F X (x);
Xn = ξk , n = 1, 2, . . . (3.5)
3) M{g(X n)} → M{g(X)}, n → ∞ для любой непрерывной и ограни-
k=1
ченной на R1 функции g(x).
p d Очевидно, M{X n} = na, D{X n} = nσ 2 .
Т е о р е м а 3.2. Если X n −→ X, n → ∞, то X n −→ X, n → ∞. Введем стандартизованную сумму
Таким образом, слабая сходимость случайной последовательности
− na
e = Xn √
следует из сходимости по вероятности, а, следовательно, из сходимости X n , n = 1, 2, . . . (3.6)
σ n
почти наверное и сходимости в среднем квадратическом. n o n o
В одном важном частном случае сходимость по распределению и Нетрудно проверить, что M X e = 0, e
X
d n D n = 1.
сходимость по вероятности эквивалентны: если X n −→ a, n → ∞, где Следующее утверждение, называемое центральной предельной тео-
p
a = const, то X n −→ a, n → ∞. ремой (ЦПТ), имеет особое значение для математической статистики.
Для установления факта слабой сходимости обычно используется Т е о р е м а 3.4 (ЦПТ для одинаково распределенных слагаемых).
следующее утверждение. Пусть случайные величины {ξk , k = 1, 2, . . . } одинаково распределены,
Т е о р е м а 3.3. Пусть Ψ n(λ) и Ψ(λ) — характеристические функции, тогда последовательность {X e , n = 1, 2, . . . } асимптотически нор-
n
соответственно, X n и X. Пусть также для любого λ ∈ R1 мальна с параметрами (0; 1).
С л е д с т в и е 3.1. Для любых чисел a 6 b выполнено
Ψ n(λ) → Ψ(λ), n → ∞. e 6 b) → Φ(b) − Φ(a),
P(a 6 X n → ∞. (3.7)
n
d С л е д с т в и е 3.2 (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Пусть
Тогда X n −→ X, n → ∞. X n — число успехов в серии из n испытаний Бернулли, а p — вероят-
Особое значение в статистике имеет случай, когда предельная случай- ность успеха в одном испытании. Тогда при n → ∞
ная величина X имеет нормальное распределение.
О п р е д е л е н и е 3.2. Последовательность {X n, n = 1, 2, . . . } называ- Xn − np d
p −→ X ∼ N (0; 1). (3.8)
ется асимптотически нормальной с параметрами (m; σ 2 ), если np(1 − p)
Если слагаемые {ξk , k = 1, 2, . . . } распределены не одинаково, то
d утверждение, аналогичное ЦПТ, останется в силе при некоторых допол-
X n −→ X, n → ∞, где X ∼ N (m; σ 2 ). (3.3)
нительных ограничениях.
Пусть M{ξk } = ak , D{ξk } = σ 2k, M |ξk − ak |3 = c 3k. Обозначим A n =
Из определения 3.2 и теоремы 3.1 следует, что для любого x ∈ R1 n n n
X X X
= M{X n} = a k, D 2n = D{X n} = σ 2k, C 3n = 3
c k.
x−m
F n(x) → Φ , n → ∞. (3.4) k=1 k=1 k=1
σ Т е о р е м а 3.5 (Ляпунов). Пусть A n, D n, C n конечны при всех n > 1,
C
причем D n → 0, n → ∞. Тогда последовательность {X e , n = 1, 2, . . . },
Практическое значение (3.4) состоит в том, что СВ X n можно считать n n
нормально распределенной с параметрами (m; σ 2 ), если n достаточно e = Xn − An , асимптотически нормальна с параметрами (0; 1).
где X n
велико. Dn
2 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
