ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН § 2.
§ 2. Сходимость последовательностей случайных
величин
2.1. Теоретические положения. Пусть {X
1
, . . . , X
n
, . . . } — по-
следовательность произвольных случайных величин (заданных на одном
вероятностном пространстве {Ω, F, P}).
О п р е д е л е н и е 2.1. X
n
→ X по вероятности, если для любого ε > 0
lim
n→∞
P (|X
n
− X| > ε) = 0.
О п р е д е л е н и е 2.2. X
n
→ X в среднем квадратическом, если
lim
n→∞
M
|X
n
− X|
2
= 0.
О п р е д е л е н и е 2.3. X
n
→ X почти наверное (с вероятностью 1),
если P
ω ∈ Ω : lim
n→∞
X
n
(ω) = X(ω)
= 1.
Указанные виды сходимости будем обозначать, соответственно,
X
n
p
−→ X, X
n
с.к.
−−−→ X, X
n
п.н.
−−−→ X, n → ∞.
Перечислим некоторые свойства сходящихся последовательно-
стей.
1) Если X
n
п.н.
−−−→ X или X
n
с.к.
−−−→ X, n → ∞, то X
n
p
−→ X, n → ∞.
2) Если X
n
п.н.
−−−→ X, Y
n
п.н.
−−−→ Y , n → ∞, a, b = const, тогда
aX
n
+ bY
n
п.н.
−−−→ aX + bY , n → ∞.
3) Пусть g(x) — произвольная борелевская функция, заданная на пря-
мой R
1
, а A — множество точек разрыва функции g(x). Если X
n
п.н.
−−−→ X,
n → ∞, причем P(X ∈ A) = 0, то g(X
n
)
п.н.
−−−→ g(X), n → ∞.
4) Если X
n
∼ N(m
n
; D
n
) и X
n
с.к.
−−−→ X, n → ∞, то X ∼ N(m
X
; D
X
),
где m
X
= lim
n→∞
m
n
, D
X
= lim
n→∞
D
n
, причем пределы существуют и
конечны.
5) Свойства 2) и 3) справедливы для сходимости по вероятности, а
свойство 2) — для с.к.-сходимости.
Для исследования сходимости последовательностей имеют важное
значение следующие вспомогательные утверждения.
Т е о р е м а 2.1. Для любых ε > 0 выполнено неравенство Чебышева
P (|ξ
n
| > ε) 6
M
˘
ξ
n
2
¯
ε
2
. (2.1)
Т е о р е м а 2.2 (Борель-Кантелли). Пусть {A
1
, A
2
, . . . , A
n
, . . . } —
бесконечная последовательность случайных событий, а B =
§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 13
=
\
n>1
[
k>n
A
k
— событие, состоящее в том, что произойдет бесконечно
много событий {A
i
}. Тогда
1) если
∞
X
k=1
P(A
k
) < ∞, то P(B) = 0;
2) если {A
1
, A
2
, . . . , A
n
, . . . } независимы и
∞
X
k=1
P(A
k
) = ∞, то
P(B) = 1.
2.2. Примеры.
П р и м е р 2.1. Пусть X
n
p
−→ X, Y
n
p
−→ Y , n → ∞. Показать, что
X
n
+ Y
n
p
−→ X + Y , n → ∞.
Р е ш е н и е. Пусть ε > 0, тогда
P (|(X
n
+ Y
n
) −(X + Y )| > ε) = P (|(X
n
− X) + (Y
n
− Y )| > ε) 6
6 P (|X
n
− X| + |Y
n
− Y | > ε) 6
6 P
|X
n
− X| >
ε
2
+ P
|Y
n
− Y | >
ε
2
→ 0, n → ∞,
так как P (|X
n
− X| > δ) → 0, P (|Y
n
− Y | > δ) → 0, n → ∞ для любого
δ > 0 по условию.
П р и м е р 2.2. Пусть {X
n
, n = 1, 2, . . . } — последовательность неза-
висимых случайных величин, M{X
n
} = 0, D{X
n
} 6 D < ∞, а Y
n
=
= n
−α
n
X
k=1
X
k
. П оказать, что Y
n
p
−→ 0, если α >
1
2
.
Р е ш е н и е. M{Y
n
} = n
−α
n
X
k=1
M{X
k
} = 0. Следовательно,
M
Y
n
2
= D
(
n
−α
n
X
k=1
X
k
)
= n
−2α
n
X
k=1
D{X
k
} 6 n
−2α
nD =
D
n
2α−1
.
По условию α =
1
2
+ γ, где γ > 0. Отсюда n
2α−1
= n
2γ
.
Из нер авенства Чебышева для ε > 0
P (|Y
n
| > ε) 6
M
˘
Y
n
2
¯
ε
2
6
D
n
2γ
ε
2
→ 0, n → ∞,
так как γ > 0. Итак, Y
n
p
−→ 0, n → ∞.
12 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН § 2. § 2. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 13
\ [
§ 2. Сходимость последовательностей случайных = A k — событие, состоящее в том, что произойдет бесконечно
величин n>1 k>n
много событий {A i}. Тогда
∞
X
1) если P(A k) < ∞, то P(B) = 0;
2.1. Теоретические положения. Пусть {X 1, . . . , X n, . . . } — по- k=1
следовательность произвольных случайных величин (заданных на одном ∞
X
вероятностном пространстве {Ω, F, P}). 2) если {A 1, A 2, . . . , A n, . . . } независимы и P(A k) = ∞, то
k=1
О п р е д е л е н и е 2.1. X n → X по вероятности, если для любого ε > 0
P(B) = 1.
lim P (|X n − X| > ε) = 0.
n→∞
О п ре д е л е н и е 2.2. X n → X в среднем квадратическом, если
lim M |X n − X|2 = 0. 2.2. Примеры.
n→∞ p p
П р и м е р 2.1. Пусть X n −→ X, Y n −→ Y , n → ∞. Показать, что
О п р е д е л е н и е 2.3. X n → X почти
наверное (с вероятностью 1), p
X n + Y n −→ X + Y , n → ∞.
если P ω ∈ Ω : lim X n(ω) = X(ω) = 1. Р е ш е н и е. Пусть ε > 0, тогда
n→∞
Указанные виды сходимости будем обозначать, соответственно,
p с.к. п.н. P (|(X n + Y n) − (X + Y )| > ε) = P (|(X n − X) + (Y n − Y )| > ε) 6
X n −→ X, X n −−−→ X, X n −−−→ X, n → ∞.
Перечислим некоторые свойства сходящихся последовательно- 6 P (|X n − X| + |Y n − Y | > ε) 6
стей.
п.н. с.к. p ε ε
1) Если X n −−−→ X или X n −−−→ X, n → ∞, то X n −→ X, n → ∞. 6 P |X n − X| > + P |Y n − Y | > → 0, n → ∞,
п.н. п.н. 2 2
2) Если X n −−−→ X, Y n −−−→ Y , n → ∞, a, b = const, тогда
п.н. так как P (|X n − X| > δ) → 0, P (|Y n − Y | > δ) → 0, n → ∞ для любого
aX n + bY n −−−→ aX + bY , n → ∞. δ > 0 по условию.
3) Пусть g(x) — произвольная борелевская функция, заданная на пря- П р и м е р 2.2. Пусть {X n, n = 1, 2, . . . } — последовательность неза-
п.н. висимых случайных величин, M{X n} = 0, D{X n} 6 D < ∞, а Y n =
мой R1 , а A — множество точек разрыва функции g(x). Если X n −−−→ X,
п.н. n
X
n → ∞, причем P(X ∈ A) = 0, то g(X n) −−−→ g(X), n → ∞. p 1
= n−α X k. Показать, что Y n −→ 0, если α > .
с.к. 2
4) Если X n ∼ N (m n; D n) и X n −−−→ X, n → ∞, то X ∼ N (m X ; D X ), k=1
n
где m X = lim m n, D X = lim D n, причем пределы существуют и X
n→∞ n→∞ Р е ш е н и е. M{Y n} = n−α M{X k} = 0. Следовательно,
конечны. k=1
5) Свойства 2) и 3) справедливы для сходимости по вероятности, а ( )
2 n n
свойство 2) — для с.к.-сходимости. X X D
Для исследования сходимости последовательностей имеют важное M Y n = D n−α Xk = n−2α D{X k} 6 n−2α nD = .
n2α−1
k=1 k=1
значение следующие вспомогательные утверждения.
Т е о р е м а 2.1. Для любых ε > 0 выполнено неравенство Чебышева 1
По условию α = + γ, где γ > 0. Отсюда n2α−1 = n2γ .
˘ ¯ 2
M ξ 2n Из неравенства Чебышева для ε > 0
P (|ξn | > ε) 6 . (2.1) ˘ ¯
ε2 M Y 2n D
P (|Y n| > ε) 6 6 2γ 2 → 0, n → ∞,
ε2 n ε
Т е о р е м а 2.2 (Борель-Кантелли). Пусть {A 1, A 2, . . . , A n, . . . } — p
бесконечная последовательность случайных событий, а B = так как γ > 0. Итак, Y n −→ 0, n → ∞.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
