ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН § 2.
Следующие два примера показывают, что из сходимости по вероятно-
сти не следуют сходимости почти наверное и в среднем квадратическом.
П р и м е р 2.3. Пусть X
n
при каждом n > 1 имеет плотность веро-
ятности p
X
n
(x) =
1
π
n
1 + (nx)
2
. Доказать, что X
n
p
−→ 0, n → ∞, но не
сходится к нулю в среднем квадратическом.
Р е ш е н и е. P (|X
n
| 6 ε) =
1
π
ε
Z
−ε
ndx
1 + (nx)
2
=
2
π
nε
Z
0
dy
1 + y
2
=
=
2
π
arctg(nε) → 1, n → ∞, так как при ε > 0 arctg(nε) → arctg(∞) =
π
2
.
Отсюда P (|X
n
| > ε) = 1−P (|X
n
| 6 ε) → 0, n → ∞, т.е. X
n
p
−→ 0, n → ∞.
Однако, M
X
n
2
=
2
π
∞
Z
0
x
2
n dx
1 + (nx)
2
=
2
πn
2
∞
Z
0
y
2
dy
1 + y
2
= +∞, поэтому
M
X
n
2
не сходится к нулю при n → ∞, т.е. X
n
не сходится к нулю
в с реднем квадратическом.
П р и м е р 2.4. Пусть {X
n
, n = 1, 2, . . . } — последовательность неза-
висимых случайных величин с распределениями P(X
n
= 0) = 1 −
1
n
,
P(X
n
= 1) =
1
n
. Доказать, что X
n
p
−→ 0, n → ∞, но X
n
не сходится к
нулю почти наверное.
Р е ш е н и е. M
X
n
2
= 0 ·
1 −
1
n
+ 1 ·
1
n
=
1
n
→ 0, n → ∞. Поэтому
X
n
с.к.
−−−→ 0, n → ∞ и, следовательно, X
n
p
−→ 0, n → ∞ (что следует из
неравенства Чебышева).
Обозначим A
k
= {X
k
= 1}. Если X
n
п.н.
−−−→ 0, то из посл едовательно-
сти {A
k
, k = 1, 2, . . . } может произойти только конечное число событий,
т.е. P(B) = P
\
n>1
[
k>n
A
k
!
= 0. Так как по условию P(A
k
) = P(X
k
=
= 1) =
1
k
, получаем
∞
X
k=1
P(A
k
) =
∞
X
k=1
1
k
= +∞, что с учетом теоремы
Бореля-Кантелли и независимости событий {A
k
} означает: P(B) = 1.
Итак, {X
n
} не сходится к нулю почти наверное, так как P(B) > 0.
2.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что из X
n
p
−→ X, Y
n
p
−→ Y , n → ∞ следует aX
n
+bY
n
p
−→ aX +
+ bY , n → ∞ для любых чисел a, b.
У к а з а н и е. Воспользоваться результатом примера 2.1.
§ 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 15
2. Пусть P(|X| < ∞) = 1, а X
n
=
X
n
. Доказать, что X
n
п.н.
−−−→ 0, n → ∞.
У к а з а н и е. Воспользоваться определением п.н.-сходимости.
3. Доказать, что из сходимости почти наверное не следует сходимость в
среднем квадратическом.
У к а з а н и е. Рассмотреть случайную величину X
n
с распределением
P(X
n
= 0) = 1 −
1
n
2
, P(X
n
= 1) =
1
n
2
.
4. Пусть {ξ
n
, n = 1, 2, . . . } — последовательность независимых случайных
величин, причем ξ
n
имеет равномерное распределение на отрезке [−
4
√
n;
4
√
n].
Доказать, что X
n
p
−→ 0, n → ∞, если X
n
=
1
n
n
X
k=1
ξ
k
.
У к а з а н и е. Вычислить дисперсию D{X
n
}.
5. Случайные величины {ξ
k
, k = 1, 2, . . . } независимы, причем ξ
k
∼
∼ N(a
k
; D), D < ∞, k = 1, 2, . . . . Доказать, что X
n
=
1
n
n
X
k=1
(ξ
k
− a
k
)
2
с.к.
−−−→ D,
n → ∞.
У к а з а н и е. Учесть, что M
˘
(ξ − m)
4
¯
= 3D
2
, если ξ ∼ N(m; D).
6. Доказать, что X
n
п.н.
−−−→ X, n → ∞, если числовой ряд
∞
X
k=1
P(|X
n
− X| > ε) сходится для любого ε > 0.
У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Бореля-Кантелли.
§ 3. Центральная предельная теорема
3.1. Теоретические положения. Пусть {X
n
, n = 1, 2, . . . } — по-
следовательность случайных величин. Пусть также B — любое борелев-
ское множество действительной оси R
1
, а ∂B — его граница.
О п р е д е л е н и е 3.1. Последовательность {X
n
, n = 1, 2, . . . } сходит-
ся по распределению к случайной величине X, если для любого B такого,
что P (X ∈ ∂B) = 0, выполнено
P(X
n
∈ B) → P(X ∈ B), n → ∞. (3.1)
Сходимость по распределению, которую также называют слабой схо-
димостью, будем обозначать
X
n
d
−→ X, n → ∞. (3.2)
14 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН § 2. § 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 15
X п.н.
Следующие два примера показывают, что из сходимости по вероятно- 2. Пусть P(|X| < ∞) = 1, а X n = . Доказать, что X n −−−→ 0, n → ∞.
сти не следуют сходимости почти наверное и в среднем квадратическом. n
У к а з а н и е. Воспользоваться определением п.н.-сходимости.
П р и м е р 2.3. Пусть X n при каждом n > 1 имеет плотность веро- 3. Доказать, что из сходимости почти наверное не следует сходимость в
1 n p среднем квадратическом.
ятности p Xn (x) = . Доказать, что X n −→ 0, n → ∞, но не
π 1 + (nx)2 У к а з а н и е. Рассмотреть случайную величину X n с распределением
сходится к нулю в среднем квадратическом. 1 1
Zε Z
nε P(X n = 0) = 1 − , P(X n = 1) = 2 .
1 ndx 2 dy n2 n
Р е ш е н и е. P (|X n| 6 ε) = = = 4. Пусть {ξn , n = 1, 2, . . . } — последовательность независимых случайных
π 1 + (nx)2 π 1 + y2 √ √
−ε 0 величин, причем ξn имеет равномерное распределение на отрезке [− 4 n; 4 n].
2 π p 1 Xn
= arctg(nε) → 1, n → ∞, так как при ε > 0 arctg(nε) → arctg(∞) = . Доказать, что X n −→ 0, n → ∞, если X n = ξk .
π 2 n k=1
p
Отсюда P (|X n| > ε) = 1−P (|X n| 6 ε) → 0, n → ∞, т.е. X n −→ 0, n → ∞. У к а з а н и е. Вычислить дисперсию D{X n}.
2 Z
∞ Z
∞
5. Случайные величины {ξk , k = 1, 2, . . . } независимы, причем ξk ∼
2 x2 n dx 2 y 2 dy
Однако, M X n = = = +∞, поэтому 1 Xn
с.к.
π 2 2
1 + (nx) 2 πn 1+y ∼ N (ak ; D), D < ∞, k = 1, 2, . . . . Доказать, что X n = (ξk − ak )2 −−−→ D,
0 0 n k=1
M X 2n не сходится к нулю при n → ∞, т.е. X n не сходится к нулю n → ∞. ˘ ¯
в среднем квадратическом. У к а з а н и е. Учесть, что M (ξ − m)4 = 3D2 , если ξ ∼ N (m; D).
П р и м е р 2.4. Пусть {X n, n = 1, 2, . . . } — последовательность неза- п.н.
6. Доказать, что Xn −−−→ X, n → ∞, если числовой ряд
висимых случайных величин с распределениями P(X n = 0) = 1 − n1 , ∞
P(|X n − X| > ε) сходится для любого ε > 0.
X
p
P(X n = 1) = n1 . Доказать, что X n −→ 0, n → ∞, но X n не сходится к k=1
нулю почти наверное. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Бореля-Кантелли.
1 1 1
Р е ш е н и е. M X 2n = 0 · 1 − + 1 · = → 0, n → ∞. Поэтому
n n n
с.к. p
X n −−−→ 0, n → ∞ и, следовательно, X n −→ 0, n → ∞ (что следует из
неравенства Чебышева). § 3. Центральная предельная теорема
п.н.
Обозначим A k = {X k = 1}. Если X n −−−→ 0, то из последовательно-
сти {A k, k = 1, 2, . . . } может
! произойти только конечное число событий,
\ [ 3.1. Теоретические положения. Пусть {X n, n = 1, 2, . . . } — по-
т.е. P(B) = P Ak = 0. Так как по условию P(A k) = P(X k = следовательность случайных величин. Пусть также B — любое борелев-
n>1 k>n ское множество действительной оси R1 , а ∂B — его граница.
∞
X ∞
X
1
= 1) = , получаем P(A k) =
1
= +∞, что с учетом теоремы О п р е д е л е н и е 3.1. Последовательность {X n, n = 1, 2, . . . } сходит-
k k
k=1 k=1
ся по распределению к случайной величине X, если для любого B такого,
Бореля-Кантелли и независимости событий {A k} означает: P(B) = 1. что P (X ∈ ∂B) = 0, выполнено
Итак, {X n} не сходится к нулю почти наверное, так как P(B) > 0.
P(X n ∈ B) → P(X ∈ B), n → ∞. (3.1)
Сходимость по распределению, которую также называют слабой схо-
2.3. Задачи для самостоятельного решения.
p p p димостью, будем обозначать
1. Доказать, что из X n −→ X, Y n −→ Y , n → ∞ следует aX n +bY n −→ aX +
+ bY , n → ∞ для любых чисел a, b. d
У к а з а н и е. Воспользоваться результатом примера 2.1. X n −→ X, n → ∞. (3.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
