ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3.
3.2. Примеры.
П р и м е р 3.1. Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа
(следствие 3.2).
Р е ш е н и е. Пусть X
n
— число “успехов” в серии из n испытаний
Бернулли с вероятностью “успе ха” p. Тогда X
n
=
n
X
k=1
ξ
k
, где ξ
k
—
результат k-го испытания, т.е. случайная величина с распределением
P(ξ
k
= 1) = p, P(ξ
k
= 0) = 0. По условию случайные величины {ξ
k
}
независимы в совокупности, причем M{ξ
k
} = p, D{ξ
k
} = p (1 − p).
Поэтому M{X
n
} =
n
X
k=1
M{ξ
k
} = np, а D{X
n
} =
n
X
k=1
D{ξ
k
} = np (1 − p).
Поэтому последовательность стандартизованных сумм
e
X
n
=
X
n
− np
p
np (1 −p)
асимптотически нормальна по теореме 3.4.
П р и м е р 3.2. Симметричная монета подбрасывается 10000 раз. Ис-
пользуя ЦПТ, оценить вероятность того, что “герб” выпадет более 6000
раз. Указать реальные пределы изм енения числа выпавших “гербов”.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что рассматривается схема из n =
= 10000 испытаний Бернулли с p = 0,5. Тогда, если X
n
— число
выпавших “гербов”, то M{X
n
} = np = 5000, D{X
n
} = np (1−p) = 2500. В
силу ЦПТ с учетом n ≫1 полагаем, что
e
X
n
=
X
n
− np
p
np (1 −p)
=
X
n
− 5000
50
∼
∼ N(0; 1).
Отсюда P(X
n
> 6000) = P
X
n
− 5000
50
> 20
= P(
e
X
n
> 20) = 1 −
− Φ(20)
∼
=
0. Таким образом, событие {X
n
> 6000} представляется
совершенно невероятным.
В силу приведенных выше рассуждений можно считать, что X
n
∼
∼ N(5000; 50
2
). Известно, что если X ∼ N(m
X
; σ
X
2
), то P(m
X
− 3σ
X
6
6 X 6 m
X
+3σ
X
) = Φ(3)−Φ(−3)
∼
=
0,997. Поэтому P(5000−3·50 6 X
n
6
6 5000 + 3 · 50) = P(4850 6 X
n
6 5150) = Φ(3) − Φ(−3)
∼
=
0,997. Таким
образом, с вероятностью, близкой к 1, число выпавших “гербов” X
n
будет
лежать в промежутке от 4850 до 5150, т.е. отличаться от ожидаемого
числа 5000 не более чем на 150.
П р и м е р 3.3. Пусть P
n
∗
=
X
n
n
— частота появления события A в
схеме из n испытаний Бернулли, где X
n
— количество появлений события
A, а p = P(A). Доказать, что последовательность Y
n
=
√
n (P
n
∗
− p)
асимптотически нормальна с параметрами (0; p (1 − p)).
§ 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 19
Р е ш е н и е. Так как в примере 3.1 показано, что M{X
n
} = np,
D{X
n
} = np (1 − p), то M{P
n
∗
} = p, D{P
n
∗
} =
p (1 −p)
n
. П оэтому
F
n
(x) = P(Y
n
6 x) = P
X
n
n
− p 6
x
√
n
=
= P
X
n
− np
p
np (1 −p)
6
x
p
p (1 −p)
=
= P
e
X
n
6
x
p
p (1 −p)
→ Φ
x
p
p (1 −p)
, n → ∞.
С учетом утверждения теоремы 3.1 и определения 3.2 заключаем, что
Y
n
d
−→ Y , n → ∞, где Y ∼ N(0; p (1 − p)), т.е. {Y
n
} асимптотически
нормальна с параметрами (0; p (1 − p)).
Заметим, что при n≫1 полученный результат позволяет считать, что
P
n
∗
∼ N
p;
p (1−p)
n
.
П р и м е р 3.4. Пусть X
n
=
n
X
k=1
ξ
k
, где ξ
k
∼ R[−k; k], а случайные
величины {ξ
k
, k = 1, 2, . . . } независимы в совокупности. Доказать, что
последовательность
e
X
n
=
X
n
D
n
, где D
n
2
= D{X
n
} асимптотически нор-
мальна с параметрами (0; 1).
Р е ш е н и е. По условию a
k
= M{ξ
k
} =
k + (−k)
2
= 0; σ
k
2
= D{ξ
k
} =
=
(k − (−k))
2
12
=
k
2
3
. Вычислим M
|ξ
k
|
3
: c
k
3
= M
|ξ
k
|
3
=
k
Z
−k
|x|
3
1
2k
dx =
=
1
k
k
Z
0
x
3
dx =
k
3
4
. Таким образом,
A
n
= M{X
n
} = 0; D
n
2
=
n
X
k=1
σ
k
2
=
1
3
n
X
k=1
k
2
=
n (n + 1) (2n + 1)
18
;
C
n
3
=
n
X
k=1
c
k
3
=
1
4
n
X
k=1
k
3
=
n
2
(n + 1)
2
16
.
Из полученных выражений следует, что
C
n
D
n
= α
3
√
n
4
+ 2n
3
+ n
2
2
√
2n
3
+ 3n
2
+ n
= O
n
−1/6
→ 0, n → ∞.
2*
18 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 3. § 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 19
3.2. Примеры. Р е ш е н и е. Так как в примере 3.1 показано, что M{X n} = np,
П р и м е р 3.1. Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа p (1 − p)
D{X n} = np (1 − p), то M{P ∗n} = p, D{P ∗n} = . Поэтому
(следствие 3.2). n
Р е ш е н и е. Пусть X n — число “успехов” в серии из n испытаний Xn x
n
X
F n(x) = P(Y n 6 x) = P −p6 √ =
n n
Бернулли с вероятностью “успеха” p. Тогда X n = ξk , где ξk —
k=1 Xn − np x
=P p 6 p =
результат k-го испытания, т.е. случайная величина с распределением
P(ξk = 1) = p, P(ξk = 0) = 0. По условию случайные величины {ξk } np (1 − p) p (1 − p)
независимы в совокупности, причем M{ξk } = p, D{ξk } = p (1 − p). =P X en 6 p x →Φ p
x
, n → ∞.
n
X n
X p (1 − p) p (1 − p)
Поэтому M{X n} = M{ξk } = np, а D{X n} = D{ξk } = np (1 − p).
k=1 k=1
С учетом утверждения теоремы 3.1 и определения 3.2 заключаем, что
d
en = pXn − np
Поэтому последовательность стандартизованных сумм X Y n −→ Y , n → ∞, где Y ∼ N (0; p (1 − p)), т.е. {Y n} асимптотически
np (1 − p) нормальна с параметрами (0; p (1 − p)).
асимптотически нормальна по теореме 3.4. Заметим,
n ≫ 1 полученный результат позволяет считать, что
что при
∗ p (1−p)
П р и м е р 3.2. Симметричная монета подбрасывается 10000 раз. Ис- P n ∼ N p; n .
пользуя ЦПТ, оценить вероятность того, что “герб” выпадет более 6000 n
X
раз. Указать реальные пределы изменения числа выпавших “гербов”. П р и м е р 3.4. Пусть X n = ξk , где ξk ∼ R[−k; k], а случайные
Р е ш е н и е. Из условия следует, что рассматривается схема из n = k=1
= 10000 испытаний Бернулли с p = 0,5. Тогда, если X n — число величины {ξk , k = 1, 2, . . . } независимы в совокупности. Доказать, что
последовательность X en = Xn , где D 2 = D{X } асимптотически нор-
выпавших “гербов”, то M{X n} = np = 5000, D{X n} = np (1−p) = 2500. В Dn n n
en = pXn − np = Xn − 5000 ∼ мальна с параметрами (0; 1).
силу ЦПТ с учетом n ≫ 1 полагаем, что X k + (−k)
np (1 − p) 50 Р е ш е н и е. По условию a k = M{ξk } = = 0; σ 2k = D{ξk } =
∼ N (0; 1). 2
Zk
Xn − 5000 en > 20) = 1 − (k − (−k))2 k2 1
Отсюда P(X n > 6000) = P > 20 = P(X = = . Вычислим M |ξk |3 : c 3k = M |ξk |3 = |x|3 dx =
50 12 3 2k
∼
− Φ(20) = 0. Таким образом, событие {X n > 6000} представляется −k
совершенно невероятным. Zk 3
1 k
В силу приведенных выше рассуждений можно считать, что X n ∼ = x3 dx = . Таким образом,
k 4
∼ N (5000; 502 ). Известно, что если X ∼ N (m X ; σ 2X), то P(m X − 3σ X 6 0
6 X 6 m X +3σ X ) = Φ(3)−Φ(−3) ∼ = 0,997. Поэтому P(5000−3·50 6 X n 6 n
X n
1 X 2 n (n + 1) (2n + 1)
6 5000 + 3 · 50) = P(4850 6 X n 6 5150) = Φ(3) − Φ(−3) ∼ = 0,997. Таким A n = M{X n} = 0; D 2n = σ 2k = k = ;
3 18
образом, с вероятностью, близкой к 1, число выпавших “гербов” X n будет k=1 k=1
лежать в промежутке от 4850 до 5150, т.е. отличаться от ожидаемого n n
X 1 X n2 (n + 1)2
числа 5000 не более чем на 150. C 3n = c 3k = k3 = .
X 4 16
k=1 k=1
П р и м е р 3.3. Пусть P ∗n = n — частота появления события A в
n Из полученных выражений следует, что
схеме из n испытаний Бернулли, где X n — количество появлений
√ события √
A, а p = P(A). Доказать, что последовательность Y n = n (P ∗n − p) Cn 3
n4 + 2n3 + n2 −1/6
асимптотически нормальна с параметрами (0; p (1 − p)). = α√ = O n → 0, n → ∞.
Dn2 3 22n + 3n + n
2*
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
