ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5.
= P
n
Y
k=1
{X
k
6 x}
!
. Так как элементы выборки статистически незави-
симы и одинаково распределены, получаем
F
(n)
(x) =
n
Y
k=1
P(X
k
6 x) =
n
Y
k=1
F
X
k
(x) = F
n
(x).
Аналогично,
F
(1)
(x) = 1 −P(X
(1)
> x) = 1 −
n
Y
k=1
P(X
k
> x) =
= 1 −
n
Y
k=1
1 − F
X
k
(x)
= 1 − (1 − F (x))
n
.
П р и м е р 5.2. Пусть выборка Z
n
порождена СВ X с конечным м о-
ментом ν
r
. Доказать, что выборочный начальный момент
ν
r
(n) обладает
по отношению к ν
r
свойством несмещенности, т.е. M{
ν
r
(n)} = ν
r
, и
свойством сильной состоятельности, т.е.
ν
r
(n)
п.н.
−−−→ ν
r
, n → ∞.
Р е ш е н и е. По условию M{(X
k
)
r
} = M{X
r
} = ν
r
. Поэтому
M{
ν
r
(n)} = M
(
1
n
n
X
k=1
(X
k
)
r
)
=
1
n
n
X
k=1
M{(X
k
)
r
} =
1
n
n
X
k=1
ν
r
= ν
r
.
Свойство нес мещен ности доказано.
Обозначим ξ
k
= (X
k
)
r
, тогда величины {ξ
1
, . . . , ξ
n
} независимы,
одинаково распределены и M{ξ
k
} = ν
r
. По усиленному закону больших
чисел Колмогорова (теорема 4.1)
ν
r
(n) =
1
n
n
X
k=1
ξ
k
п.н.
−−−→ M{ξ
1
} = ν
r
,
n → ∞. Свойство сильной состоятельности доказано.
П р и м е р 5.3. В условиях примера 5.2 для r = 2 показать, что выбо-
рочная дисперсия
S
n
2
обладает свойством асимптотической несмещен-
ности, т.е. M
S
n
2
→ D
X
, n → ∞, и свойством сильной состоятельности.
Р е ш е н и е. По определению
S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− X
n
)
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
)
2
−
− (
X
n
)
2
= ν
2
(n) − (ν
1
(n))
2
. Из результата примера 5.2 следует, что
ν
2
(n)
п.н.
−−−→ ν
2
, ν
1
(n)
п.н.
−−−→ ν
1
, n → ∞. Тогда в силу свойства сходимости
почти наверное (см. разд. 2.1) заключаем:
S
n
2
=
ν
2
(n)−(ν
1
(n))
2
п.н.
−−−→ ν
2
−
−ν
1
2
= M
X
2
−(M{X})
2
= D
X
, n → ∞. Свойство сильной состоятель-
ности доказано.
§ 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 31
Пусть теперь ξ
k
= (X
k
− X
n
)
2
, а m
X
= M{X}. Тогда M{ξ
k
} =
= M
n
(X
k
− m
X
) − (
X
n
− m
X
)
2
o
= M
◦
X
k
−
1
n
n
X
i=1
◦
X
i
!!
2
=
= M
◦
X
k
2
−
2
n
n
X
i=1
M
◦
X
k
◦
X
i
+
1
n
2
n
X
i,j=1
M
◦
X
i
◦
X
j
. С учетом незави-
симости X
i
и X
j
при i 6= j получаем M{ξ
k
} = D
X
−
2
n
D
X
+
1
n
D
X
=
=
n − 1
n
D
X
. Поэтому M
S
n
2
=
1
n
n
X
k=1
M{ξ
k
} =
n − 1
n
D
X
. Таким образом,
S
n
2
не обладает свойством несмещенности по отношению к дисперсии D
X
,
так как M
S
n
2
6= D
X
. Однако, lim
n→∞
M
S
n
2
= lim
n→∞
n − 1
n
D
X
= D
X
, т.е.
свойство асим птотической несмещенности имеет место.
П р и м е р 5.4. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , 175} соответствует распреде-
лению R[−1; 1]. Оценить вероятность того, что |ν
3
(175)| 6
1
70
.
Р е ш е н и е. По условию X
k
∼ R[−1; 1], поэтому ν
3
= M
X
k
3
=
=
1
Z
−1
x
3
1
2
dx = 0. Так как n = 175 ≫1, то для искомой оценки вероятности
можно воспользоваться теоремой 5.2, из которой для r = 3 с учетом
ν
3
= 0 следует, что
ν
3
(175) ∼ N
0;
ν
6
175
. Так как ν
6
=
1
2
1
Z
−1
x
6
dx =
=
1
7
, то
ν
3
(175) ∼ N
0;
1
1225
. Отсюда P
|ν
3
(175)| 6
1
70
∼
=
Φ
√
1225
70
−
− Φ
−
√
1225
70
= Φ
1
2
− Φ
−
1
2
= 2Φ
0
1
2
= 0,383.
П р и м е р 5.5. Выборка Z
n
порождена СВ X ∼ R[0; 1]. Для любого
ε > 0 оценить P
|
b
F
n
(x) − x| 6 ε
при каждом x ∈ [0; 1] и n ≫ 1.
Р е ш е н и е. Так как X ∼ R[0; 1], то F (x) = x, x ∈ [0; 1]. По-
этому
b
F
n
(x) − x =
b
F
n
(x) − F (x) ∼ N
0;
F (x)(1 − F (x))
n
по тео-
реме 5.4. Итак,
b
F
n
(x) − x ∼ N
0;
x(1 − x)
n
для x ∈ [0; 1] и n ≫
≫ 1. Отсюда P
|
b
F
n
(x) − x| 6 ε
∼
=
Φ
ε
√
n
p
x(1 − x)
− Φ
−
ε
√
n
p
x(1 − x)
=
30 ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 5. § 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 31
!
n
Y Пусть теперь ξ k = (X k − X n)2 , а m X = M{X}. Тогда M{ξ } =
=P {X k 6 x} . Так как элементы выборки статистически незави- !!2 k
n 2 o ◦ n
k=1 1 X ◦
симы и одинаково распределены, получаем = M (X k − m X ) − (X n − m X ) = M Xk − Xi =
n
i=1
n
Y n
Y n
n
◦ 2 X ◦ ◦ 1 X ◦ ◦
F (n)(x) = P(X k 6 x) = F Xk (x) = F n (x). = M X 2k − M X kX i + 2 M X iX j . С учетом незави-
k=1 k=1 n n
i=1 i,j=1
2 1
Аналогично, симости X i и X j при i 6= j получаем M{ξ k} = D X − D X + D X =
n n
2 n
n
Y n−1 1 X n−1
F (1)(x) = 1 − P(X (1) > x) = 1 − P(X k > x) = = D X . Поэтому M S n = M{ξ k} = D X . Таким образом,
n n n
k=1
k=1
n
Y S 2n не обладает свойством несмещенности по отношению к дисперсии D X ,
=1− 1 − F Xk (x) = 1 − (1 − F (x))n . n−1
k=1
так как M S 2n 6= D X . Однако, lim M S 2n = lim D X = D X , т.е.
n→∞ n→∞ n
свойство асимптотической несмещенности имеет место.
П р и м е р 5.2. Пусть выборка Z n порождена СВ X с конечным мо- П р и м е р 5.4. Выборка {X k, k = 1, . . . , 175} соответствует распреде-
1
ментом ν r. Доказать, что выборочный начальный момент ν r(n) обладает лению R[−1; 1]. Оценить вероятность того, что |ν 3(175)| 6 70 .
по отношению к ν r свойством несмещенности, т.е. M{ν r(n)} = ν r, и
п.н. Р е ш е н и е. По условию X k ∼ R[−1; 1], поэтому ν 3 = M X 3k =
свойством сильной состоятельности, т.е. ν r(n) −−−→ ν r, n → ∞. Z1
Р е ш е н и е. (По условию)M{(X k) } = M{X r } = ν r. Поэтому
r 1
= x3 dx = 0. Так как n = 175 ≫ 1, то для искомой оценки вероятности
n n n 2
1 X 1 X 1 X −1
M{ν r(n)} = M (X k)r = M{(X k)r } = ν r = ν r. можно воспользоваться теоремой 5.2, из которой для r = 3 с учетом
n n n
k=1 k=1 k=1 ν Z1
Свойство несмещенности доказано. 1
ν 3 = 0 следует, что ν 3(175) ∼ N 0; 6 . Так как ν 6 = x6 dx =
Обозначим ξ k = (X k)r , тогда величины {ξ 1, . . . , ξ n} независимы, 175 2
одинаково распределены и M{ξ k} = ν r. По усиленному закону больших −1
√
1 1 1225
1
n
X п.н. = , то ν 3(175) ∼ N 0; 1
. Отсюда P |ν 3(175)| 6 70 ∼
=Φ −
чисел Колмогорова (теорема 4.1) ν r(n) = ξ k −−−→ M{ξ 1} = ν r, 7
√ 1225 70
n
k=1 1225 1 1
n → ∞. Свойство сильной состоятельности доказано. −Φ − =Φ −Φ − = 2Φ 0 12 = 0,383.
70 2 2
П р и м е р 5.3. В условиях примера 5.2 для r = 2 показать, что выбо-
рочная дисперсия 2 П р и м е р 5.5. Выборка Z n порождена СВ X ∼ R[0; 1]. Для любого
2 S n обладает свойством асимптотической несмещен-
ности, т.е. M S n → D X , n → ∞, и свойством сильной состоятельности. ε > 0 оценить P |Fb n(x) − x| 6 ε при каждом x ∈ [0; 1] и n ≫ 1.
n n
1 X 1 X
Р е ш е н и е. По определению S 2n = (X k − X n)2 = (X k)2 − Так как X ∼ R[0; 1], то
Р е ш е н и е. F (x) = x, x ∈ [0; 1]. По-
n n
k=1 k=1 F (x)(1 − F (x))
− (X n)2 = ν 2(n) − (ν 1(n))2 . Из результата примера 5.2 следует, что этому Fb n(x) − x = Fb n(x) − F (x) ∼ N 0; по тео-
n
п.н. п.н.
ν 2(n) −−−→ ν 2, ν 1(n) −−−→ ν 1, n → ∞. Тогда в силу свойства сходимости x(1 − x)
п.н. реме 5.4. Итак, Fb n(x) − x ∼ N 0; для x ∈ [0; 1] и n ≫
почти наверное
(см. разд. 2.1) заключаем: S 2n = ν 2(n)−(ν 1(n))2 −−−→ ν 2 − n√
√
− ν 21 = M X 2 − (M{X})2 = D X , n → ∞. Свойство сильной состоятель- b ∼ ε n ε n
≫ 1. Отсюда P |F n(x) − x| 6 ε = Φ p − Φ −p =
ности доказано. x(1 − x) x(1 − x)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
