ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6.
П р и м е р 6.2. Пусть в условиях примера 6.1 СВ {ε
k
k = 1, 2, . . . }
одинаково распределены, причем M{ε
k
} = 0, D{ε
k
} = σ
2
, где σ < ∞.
Доказать, что оценка
b
θ
n
= X
n
асимптотически нормальна.
Р е ш е н и е. Из решения примера 6.1 следует, что ∆
b
θ
n
= ∆
X
n
=
= ε
n
, причем M{ε
k
} = 0, D{ε
k
} = σ
2
. Тогда из теоремы 4.4 следует,
что
√
nε
n
d
−→ X ∼ N(0; σ
2
), n → ∞. Отсюда
√
n
σ
∆
X
n
=
√
n
σ
ε
n
d
−→ ξ ∼
∼ N(0; 1), n → ∞. Таким образом, C
n
∆
X
n
d
−→ ξ ∼ N(0; 1), n → ∞, если
C
n
=
√
n
σ
, n = 1, 2, . . .
.
П р и м е р 6.3. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ R[0; θ],
θ > 0. Доказать, что
b
θ
n
= X
(n)
— асимптотически несмещенная оценка
параметра θ.
Р е ш е н и е. По условию F (x) = P(X 6 x) =
x
θ
, x ∈ [0; θ]. Из
примера 5.1 следует, что F
(n)
(x) = P(X
(n)
6 x) = F
n
(x) =
x
n
θ
n
, x ∈
∈ [0; θ]. Тогда M
n
X
(n)
o
=
θ
Z
0
xdF
(n)
(x) =
θ
Z
0
x
nx
n−1
θ
n
dx =
n
θ
n
θ
Z
0
x
n
dx =
=
n
n + 1
θ. Отсюда M
n
∆
b
θ
n
o
= M
n
X
(n)
− θ
o
= M
n
X
(n)
o
− θ =
n
n + 1
θ −
−θ = −
θ
n + 1
→ 0, n → ∞. Итак, при любом θ > 0 M
n
∆
b
θ
n
o
< 0, поэтому
смещение l
n
6= 0, но M
n
∆
b
θ
n
o
→ 0, n → ∞, т.е.
b
θ
n
= X
(n)
асимптотически
несмещенная.
П р и м е р 6.4. Выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} соответствует
распределению N(m; θ
2
). Найти величину C, при которой статистика
ϕ(Z
n
) =
C
n
n
X
k=1
|X
k
− m| будет несмещенной и сильно состоятельной
оценкой параметра θ.
Р е ш е н и е. Пусть ξ = |X − m|, где X ∼ N(m; θ
2
). То-
гда M{ξ} = M{|X − m|} =
1
√
2πθ
∞
Z
−∞
|x − m|exp
−
(x − m)
2
2θ
2
dx =
=
r
2
π
θ
∞
Z
0
yexp
−
y
2
2
dy =
r
2
π
θ. Отсюда с учетом M{|X
k
− m|} = M{ξ}
§ 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 37
получим M{ϕ(Z
n
) − θ} =
C
n
n
X
k=1
M{|X
k
− m|} − θ =
C
r
2
π
− 1
!
θ.
Последнее выражение равно нулю при всех θ, только если C
r
2
π
−1 = 0.
Отсюда C =
q
π
2
есть условие несмещенности оценки
b
θ
n
= ϕ(Z
n
).
По усиленному закону больших чисел имеем: ν
n
=
1
n
n
X
k=1
|X
k
−m|
п.н.
−−−→
M{ξ} =
r
2
π
θ, n → ∞. Поэтому
b
θ
n
= Cν
n
п.н.
−−−→ CM{ξ} = θ, если C =
=
q
π
2
. Итак, оценка
b
θ
n
=
√
π
n
√
2
n
X
k=1
|X
k
− m| — несмещенная и сильно
состоятельная оценка среднего квадратического отклонения θ.
П р и м е р 6.5. Пусть выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена
СВ X, причем M{X} = θ, а D{X} = σ
2
— известная величина.
Доказать, что оценка
b
θ
n
= X
n
параметра θ с.к.-оптимальна на классе
всех линейных не смеще нных оценок вида
e
θ
n
=
n
X
k=1
α
k
X
k
, где {α
k
} —
некоторые числовые коэффициенты.
Р е ш е н и е. По условию
e
θ
n
— несмещенная оценка, поэтому
M
n
e
θ
n
− θ
o
= M
(
n
X
k=1
α
k
X
k
− θ
)
=
n
X
k=1
α
k
θ − θ =
n
X
k=1
α
k
− 1
!
θ. Таким
образом, условие несмещенности M
n
e
θ
n
− θ
o
= 0 влечет условие
n
X
k=1
α
k
=
= 1. Обозначим через Φ
n
соответствующий класс оценок. Заметим, что
если α
k
=
1
n
, k = 1, . . . , n, то
n
X
k=1
α
k
= 1, поэтому оценка
b
θ
n
=
n
X
k=1
α
k
X
k
=
=
1
n
n
X
k=1
X
k
= X
n
принадлежит классу Φ
n
.
Найдем с.к.-погрешность произвольной оценки
e
θ
n
из Φ
n
. Так как
M
n
e
θ
n
− θ
o
= 0 по доказанному выше, то ∆
n
= M
n
|
e
θ
n
− θ|
2
o
=
= D
n
e
θ
n
− θ
o
= D
n
e
θ
n
o
= σ
2
n
X
k=1
α
k
2
. Таким образом, коэффициенты
{bα
k
, k = 1, . . . , n}, определяющие оптимальную оценку
b
θ
n
, удовлетво-
36 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА § 6. § 6. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА 37
r !
П р и м е р 6.2. Пусть в условиях примера 6.1 СВ {ε k k = 1, 2, . . . } n
C X 2
одинаково распределены, причем M{ε k} = 0, D{ε k} = σ 2 , где σ < ∞. получим M{ϕ(Z n) − θ} = M{|X k − m|} − θ = C −1 θ.
n π
k=1 r
Доказать, что оценка θbn = X n асимптотически нормальна.
2
Последнее выражение равно нулю при всех θ, только если C − 1 = 0.
Р е ш е н и е. Из решения примера 6.1 следует, что ∆θbn = ∆X n = q π
π
= ε n, причем M{ε k} = 0, D{ε k} = σ 2 . Тогда√из теоремы√ 4.4 следует, Отсюда C = есть условие несмещенности оценки θbn = ϕ(Z n).
√ d n n d 2
что nε n −→ X ∼ N (0; σ 2 ), n → ∞. Отсюда ∆X n = ε n −→ ξ ∼ n
1 X п.н.
σ σ По усиленному закону больших чисел имеем: ν n = |X k−m| −−−→
d n
∼ N (0; 1), n → ∞. Таким
образом, C n∆X n −→ ξ ∼ N (0; 1), n → ∞, если r k=1
√
n 2 п.н.
Cn = , n = 1, 2, . . . . M{ξ} = θ, n → ∞. Поэтому θb = Cν −−−→ CM{ξ} = θ, если C =
n n
σ π
q √ n
π π X
П р и м е р 6.3. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ R[0; θ], = . Итак, оценка θbn = √ |X k − m| — несмещенная и сильно
2 n 2 k=1
θ > 0. Доказать, что θbn = X (n) — асимптотически несмещенная оценка состоятельная оценка среднего квадратического отклонения θ.
параметра θ.
П р и м е р 6.5. Пусть выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} порождена
x
Р е ш е н и е. По условию F (x) = P(X 6 x) = , x ∈ [0; θ]. Из СВ X, причем M{X} = θ, а D{X} = σ 2 — известная величина.
θ
xn Доказать, что оценка θbn = X n параметра θ с.к.-оптимальна на классе
примера 5.1 следует, что F (n)(x) = P(X (n) 6 x) = F n (x) = n , x ∈ n
θ X
n o Zθ Zθ Zθ всех линейных несмещенных оценок вида θen = α kX k, где {α k} —
nxn−1 n
∈ [0; θ]. Тогда M X (n) = xdF (n)(x) = x n dx = n xn dx = k=1
θ θ некоторые числовые коэффициенты.
n o 0 n o0 n o 0
=
n
θ. Отсюда M ∆θbn = M X (n) − θ = M X (n) − θ =
n
θ− Р е ш е н и е. (По условию )θen — несмещенная оценка,! поэтому
n+1 n o n + 1 n o Xn n
X n
X
θ M θen − θ = M
−θ = − → 0, n → ∞. Итак, при любом θ > 0 M ∆θbn < 0, поэтому α kX k − θ = α kθ − θ = α k − 1 θ. Таким
n+1 n o k=1 k=1 k=1
смещение l n 6= 0, но M ∆θbn → 0, n → ∞, т.е. θbn = X (n) асимптотически n o n
X
образом, условие несмещенности M θen − θ = 0 влечет условие αk =
несмещенная. k=1
П р и м е р 6.4. Выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} соответствует = 1. Обозначим через Φ n соответствующий класс оценок. Заметим, что
n
X n
X
распределению N (m; θ2 ). Найти величину C, при которой статистика если α k =
1
, k = 1, . . . , n, то α k = 1, поэтому оценка θbn = α kX k =
n
X n
C k=1 k=1
ϕ(Z n) = |X k − m| будет несмещенной и сильно состоятельной n
n 1 X
k=1 = X k = X n принадлежит классу Φ n.
оценкой параметра θ. n
k=1
Р е ш е н и е. Пусть ξ = |X − m|, где X ∼ N (m; θ2 ). То- e
Z
∞ nНайдемo с.к.-погрешность произвольной оценки θ n изn Φ n. Такoкак
1 (x − m)2 M θ n − θ = 0 по доказанному выше, то ∆ n = M |θen − θ|2 =
e
гда M{ξ} = M{|X − m|} = √ |x − m|exp − 2
dx =
2πθ 2θ n o n o n
−∞ X
r Z
∞ 2 r = D θen − θ = D θen = σ 2 α 2k. Таким образом, коэффициенты
2 y 2 k=1
= θ yexp − dy = θ. Отсюда с учетом M{|X k − m|} = M{ξ}
π
0
2 π α k, k = 1, . . . , n}, определяющие оптимальную оценку θbn, удовлетво-
{b
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
