ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ § 7.
Решая полученное уравнение относительно θ, находим
b
θ
n
=
n
X
k=1
X
k
Nn
=
=
X
n
N
. Оценка
b
θ
n
будет несмещенной, сильно состоятельной и асимпто-
тически н ормальной.
П р и м е р 7.4. Дана гауссовская выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n}, где
X
k
∼ N(θ
1
; θ
2
). Найти МП-оценку средне го θ
1
и дисп ерсии θ
2
> 0.
Р е ш е н и е. По условию для x ∈ R
1
и θ = {θ
1
, θ
2
}
⊤
имеем
p(x; θ) =
1
p
2πθ
2
exp
−
(x −θ
1
)
2
2θ
2
. Поэтому
L
n
(θ; Z
n
) =
n
Y
k=1
p (X
k
; θ) = (2πθ
2
)
−
n
2
exp
(
−
1
2θ
2
n
X
k=1
(X
k
− θ
1
)
2
)
.
Отсюда
L
n
(θ) = ln L
n
(θ; Z
n
) = −
n
2
ln(2π) −
n
2
ln θ
2
−
1
2θ
2
n
X
k=1
(X
k
− θ
1
)
2
.
Для нахождения максимума функции
L
n
(θ) по θ воспользуемся уравне-
ниями правдоподобия (7.8):
∂
L
n
(θ)
∂θ
1
=
1
θ
2
n
X
k=1
(X
k
− θ
1
) = 0
∂
L
n
(θ)
∂θ
2
= −
n
2θ
2
+
1
2θ
2
2
n
X
k=1
(X
k
− θ
1
)
2
= 0.
Решая полученную систему уравнений относительно θ
1
и θ
2
, находим
требуемые оценки
b
θ
1
и
b
θ
2
:
b
θ
1
=
1
n
n
X
k=1
X
k
= X
n
;
b
θ
2
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
− X
n
)
2
= S
n
2
.
Итак, выборочное среднее
X
n
и выборочная дисперсия S
n
2
являются
МП-оценками, соответственно, математического ожидания θ
1
и диспер-
сии θ
2
по гауссовской выборке. Из результатов примеров 5.2 и 5.3 следует,
что
b
θ
1
— несмещенная и сильно состоятельная оценка θ
1
,
b
θ
2
— асим-
птотически несмещенная и сильно состоятельная оценка для θ
2
. Можно
показать, что обе оценки асимптотически нормальны.
§ 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 45
7.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что оценки параметров, построенные в примерах 7.1 и 7.3,
являются асимптотически несмещенными и сильно состоятельными.
У к а з а н и е. Использовать асимптотические свойства выборочных момен-
тов (см. разделы 4 и 5).
2. Выборка объема n порождена СВ X ∼ E(θ), θ > 0. Найти МП-оценку
параметра θ и до казать ее сильную состоятельность.
О т в е т.
b
θ
n
=
1
X
n
.
3. Выборка объема n соответствует распределению Пуассона Π(θ), θ > 0.
Найти МП-оценку для θ, доказать ее несмещенность, сильную состоятельность
и асимптотическую нормальность.
О т в е т.
b
θ
n
=
X
n
.
4. Выборка {X
k
, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ E(θ
1
, θ
2
), θ
2
> 0, т.е.
p
X
(x) =
(
θ
2
exp{−θ
2
(x − θ
1
)}, если x > θ
1
,
0, если x < θ
1
.
Найти оценки параметров θ
1
и θ
2
методом моментов. Доказать сильную состо-
ятельность полученных оценок.
О т в е т.
b
θ
1
=
X
n
− S
n
;
b
θ
2
=
1
S
n
.
5. Выборка Z
n
соответствует распределению Рэлея с функцией распреде-
ления F (x; θ) = 1 − exp
−
x
2
θ
ff
, x > 0, θ > 0. Найти МП-оценку параметра
θ.
О т в е т.
b
θ
n
=
1
n
n
X
k=1
(X
k
)
2
.
6. Выборка Z
n
= {X
k
, k = 1, . . . , n} объема n = 2m + 1 (m — натуральное)
соответствует распределению Лапласа с плотностью p(x; θ) =
1
2
exp{−|x − θ|}.
Найти МП-оценку параметра θ.
О т в е т.
b
θ
n
= X
(m+1)
.
7. В условиях задачи 6 для случая n = 2m показать, что МП-оценкой д ля
θ является любая статистика вида
b
θ
n
= (1 − λ)X
(m)
+ λX
(m+1)
, λ ∈ [0; 1].
8. Пусть
b
θ
n
— МП-оценка параметра θ распределения Бернулли Bi(1; θ).
Показать, что последовательность
√
n(
b
θ
n
− θ) асимпотически нормальна с
параметрами (0; θ(1 − θ)).
У к а з а н и е. См. пример 7.3.
9. Выборка Z
n
соответствует нормальному р аспределению с параметрами
(
√
θ; 2), θ > 0. Найти МП-оценку для θ.
О т в е т.
b
θ
n
= (
X
n
)
2
, если X
n
> 0 и
b
θ
n
= 0 в противном случае.
44 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ § 7. § 7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ 45
n
X
Xk 7.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что оценки параметров, построенные в примерах 7.1 и 7.3,
Решая полученное уравнение относительно θ, находим θbn = k=1
= являются асимптотически несмещенными и сильно состоятельными.
Nn
X У к а з а н и е. Использовать асимптотические свойства выборочных момен-
= n . Оценка θbn будет несмещенной, сильно состоятельной и асимпто- тов (см. разделы 4 и 5).
N
тически нормальной. 2. Выборка объема n порождена СВ X ∼ E(θ), θ > 0. Найти МП-оценку
П р и м е р 7.4. Дана гауссовская выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n}, где параметра θ и доказать ее сильную состоятельность.
X k ∼ N (θ 1; θ 2). Найти МП-оценку среднего θ 1 и дисперсии θ 2 > 0. 1
О т в е т. θbn = .
1 ⊤ Xn
Р е ш е н и е. По условию для x ∈ R и θ = {θ 1, θ 2} имеем
2 3. Выборка объема n соответствует распределению Пуассона Π(θ), θ > 0.
1 (x − θ 1)
p(x; θ) = p exp − . Поэтому Найти МП-оценку для θ, доказать ее несмещенность, сильную состоятельность
2πθ 2 2θ 2 и асимптотическую нормальность.
( ) О т в е т. θbn = X n.
n
Y n
−n 1 X 4. Выборка {X k, k = 1, . . . , n} порождена СВ X ∼ E(θ 1, θ 2), θ 2 > 0, т.е.
L n(θ; Z n) = p (X k; θ) = (2πθ 2) 2 exp − (X k − θ 1)2 .
2θ 2 (
k=1 k=1 θ 2exp{−θ 2(x − θ 1)} , если x > θ 1,
pX (x) =
Отсюда 0, если x < θ 1.
n
n n 1 X Найти оценки параметров θ 1 и θ 2 методом моментов. Доказать сильную состо-
L n(θ) = ln L n(θ; Z n) = − ln(2π) − ln θ 2 − (X k − θ 1)2 .
2 2 2θ 2 ятельность полученных оценок.
k=1 1
О т в е т. θb1 = X n − S n; θb2 = .
Sn
Для нахождения максимума функции L n(θ) по θ воспользуемся уравне-
ниями правдоподобия (7.8): 5. Выборка Z n соответствует
2 ff распределению Рэлея с функцией распреде-
x
n ления F (x; θ) = 1 − exp − , x > 0, θ > 0. Найти МП-оценку параметра
∂L n(θ) 1 X θ
= (X k − θ 1) = 0
∂θ 1 θ2 θ.
n
k=1 1
О т в е т. θbn = (X k)2 .
X
n
X
∂L n(θ) n 1 2 n
=− + 2 (X k − θ 1) = 0. k=1
∂θ 2 2θ 2 2θ 2 6. Выборка Z n = {X k, k = 1, . . . , n} объема n = 2m + 1 (m — натуральное)
k=1
1
Решая полученную систему уравнений относительно θ 1 и θ 2, находим соответствует распределению Лапласа с плотностью p(x; θ) = exp{−|x − θ|}.
2
Найти МП-оценку параметра θ.
требуемые оценки θb1 и θb2:
О т в е т. θbn = X (m+1).
n n
1 X 1 X 7. В условиях задачи 6 для случая n = 2m показать, что МП-оценкой для
θb1 = X k = X n; θb2 = (X k − X n)2 = S 2n. θ является любая статистика вида θbn = (1 − λ)X (m) + λX (m+1), λ ∈ [0; 1].
n n
k=1 k=1
8. Пусть θbn — МП-оценка параметра θ распределения Бернулли Bi(1; θ).
Итак, выборочное среднее X n и выборочная дисперсия S 2n являются √
Показать, что последовательность n(θbn − θ) асимпотически нормальна с
МП-оценками, соответственно, математического ожидания θ 1 и диспер- параметрами (0; θ(1 − θ)).
сии θ 2 по гауссовской выборке. Из результатов примеров 5.2 и 5.3 следует, У к а з а н и е. См. пример 7.3.
что θb1 — несмещенная и сильно состоятельная оценка θ 1, θb2 — асим- √ 9. Выборка Z n соответствует нормальному распределению с параметрами
птотически несмещенная и сильно состоятельная оценка для θ 2. Можно ( θ; 2), θ > 0. Найти МП-оценку для θ.
показать, что обе оценки асимптотически нормальны. О т в е т. θbn = (X n)2 , если X n > 0 и θbn = 0 в противном случае.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
