ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
58 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9.
и Φ(g
2
) = 1 −p
2
. Тогда P
g
1
6
√
n (X
n
− θ)
σ
6 g
2
= q. О тсюда
P
X
n
− g
2
σ
√
n
6 θ 6
X
n
− g
1
σ
√
n
= q. (9.5)
Найдем g
1
и g
2
посредством минимизации длины полученного дове-
рительного интервала:
σ
√
n
(g
2
−g
1
) → min при условии Φ(g
2
) −Φ(g
1
) = q.
Для этого рассмотрим функцию Лагранжа
L(g
1
, g
2
, λ) =
σ
√
n
(g
2
− g
1
) + λ (Φ(g
2
) − Φ(g
1
) − q) , λ > 0.
Найдем стационарные точки функции L(g
1
, g
2
, λ):
∂L(g
1
, g
2
, λ)
∂g
1
= −
σ
√
n
− λp
G
(g
1
) = 0,
∂L(g
1
, g
2
, λ)
∂g
2
=
σ
√
n
+ λp
G
(g
2
) = 0,
где p
G
(x) — плотность распределения N(0; 1). Отсюда следует, что
p
G
(g
1
) = p
G
(g
2
). Так как, p
G
(x) = p
G
(−x) для всех x ∈ R
1
, то либо
g
1
= g
2
, либо g
1
= −g
2
. Первый случай не подходит, так как Φ(g
2
) −
− Φ(g
1
) = 0 6= q. Отсюда заключаем, что Φ(g
2
) − Φ(−g
2
) = q. Таким
образом, g
2
= u
α
— квантиль уровня α = 1 −
p
2
, а g
1
= −u
α
. Подставляя
найденные g
1
и g
2
в (9.5), окончательно имеем
P
X
n
− u
α
σ
√
n
6 θ 6
X
n
+ u
α
σ
√
n
= q. (9.6)
Заметим, что из g
2
= −g
1
= u
α
сле дует, что p
1
= p
2
=
p
2
. Таким
образом, д оверительный интервал (9.6) является центральным.
П р и м е р 9.2. Дана реализация z
n
выборки Z
n
объема n = 9, по-
рожденной СВ X ∼ N(θ; σ
2
): z
n
= {1,23; −1,384; −0,959; 0,731; 0,717; −
−1,805; −1,186; 0,658; −0,439}. Построить для θ доверительные интерва-
лы надежности q = 0,95, если а) σ
2
= 1; б) σ
2
неизвестна.
Р е ш е н и е. а) По условию p = 1−q = 0,05, поэтому α = 1−
p
2
= 0,975.
По таблице 13.2 находим: u
α
= 1,96. По реализации выборки z
n
вычисля-
ем реализацию
x
n
=
1
n
n
X
k=1
x
k
= −0,271 выборочного среднего
X
n
. Теперь
§ 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 59
из (9.6) следует, что искомый интервал I
1
=
x
n
− u
α
σ
√
n
; x
n
+ u
α
σ
√
n
.
Подставляя x
n
, n = 9, σ = 1 и u
α
= 1,96, находим, что I
1
= [−
−0,924; 0,382].
б) Теперь дисперсия σ
2
неизвестна. Воспользуемся статистикой
G
n
(Z
n
; θ) =
√
n − 1 (X
n
− θ)
S
n
, которая является центральной. Действи-
тельно, по теореме 9.2 G
n
(Z
n
; θ) ∼ T
n−1
, а монотонность по θ очевидна.
Повторяя практически дословно рассуждения, приведенные в приме-
ре 9.1, находим доверительный интервал наименьшей длины:
P
X
n
− t
α
S
n
√
n − 1
6 θ 6
X
n
+ t
α
S
n
√
n − 1
= q, (9.7)
где t
α
— квантиль уровня α = 0,975 распределения Стьюдента T
r
с r =
= n −1 = 8 степенями свободы. По таблице 13.4 находим, что t
α
= 2,306.
По реализации z
n
вычисляем реализацию
s
n
2
=
1
n
n
X
k=1
(x
k
−
x
n
)
2
= 1,115
выборочной дисерсии
S
n
2
. Теперь из (9.7) с учетом n = 9, найденного t
α
и того, что
s
n
= 1,056, следует
I
2
=
x
n
− t
α
s
n
√
n − 1
6 θ 6
x
n
+ t
α
s
n
√
n − 1
= [−1,132; 0,59]
Итак, I
2
= [−1,132; 0,59] — искомый доверительный интервал. Заметим,
что выборка, приведенная в условии, в действительности соответствует
θ
0
= 0 и σ
0
2
= 1. Видим, что оба полученных интервала “накрывают”
истинное значение θ
0
параметра θ.
Заметим, что I
1
и I
2
, конечно, являются лишь реализациями дове-
рительных интервалов, соответствующими конкретной реализации z
n
выборки Z
n
.
П р и м е р 9.3. В условиях примера 9.2 построить доверительный ин-
тервал нажежности q = 0,95 для неизвестной дисперсии σ
2
.
Р е ш е н и е. Статистика g
n
(σ
2
) =
n
S
n
2
σ
2
является центральной для σ
2
,
так как g
n
(σ
2
) ∼ H
n−1
и монотонно убывает по σ
2
. Пусть k
α
и k
β
—
квантили χ
2
-распределения H
n−1
уровней, соответственно, α =
p
2
и β =
= 1 −
p
2
. Тогда P
k
α
6
n
S
n
2
σ
2
6 k
β
= q. Отсюда P
n
S
n
2
k
β
6 σ
2
6
n
S
n
2
k
α
=
= 0,95, если p = 0,05.
58 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ § 9. § 9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 59
√
n (X n − θ) σ σ
и Φ(g 2) = 1 − p 2. Тогда P g 1 6 6 g2 = q. Отсюда из (9.6) следует, что искомый интервал I 1 = x n − u α √ ; x n + u α √ .
σ n n
Подставляя x n, n = 9, σ = 1 и u α = 1,96, находим, что I 1 = [−
σ σ −0,924; 0,382].
P X n − g2 √ 6 θ 6 X n − g1 √ = q. (9.5)
n n б) Теперь √дисперсия σ 2 неизвестна. Воспользуемся статистикой
n − 1 (X n − θ)
Найдем g 1 и g 2 посредством минимизации длины полученного дове- G n(Z n; θ) = , которая является центральной. Действи-
σ Sn
рительного интервала: √ (g 2 − g 1) → min при условии Φ(g 2) − Φ(g 1) = q. тельно, по теореме 9.2 G n(Z n; θ) ∼ T n−1, а монотонность по θ очевидна.
n
Для этого рассмотрим функцию Лагранжа Повторяя практически дословно рассуждения, приведенные в приме-
ре 9.1, находим доверительный интервал наименьшей длины:
σ
L(g 1, g 2, λ) = √ (g 2 − g 1) + λ (Φ(g 2) − Φ(g 1) − q) , λ > 0.
n Sn Sn
P X n − tα √ 6 θ 6 X n + tα √ = q, (9.7)
Найдем стационарные точки функции L(g 1, g 2, λ): n−1 n−1
∂L(g 1, g 2, λ) σ где t α — квантиль уровня α = 0,975 распределения Стьюдента T r с r =
= − √ − λp G(g 1) = 0, = n − 1 = 8 степенями свободы. По таблице 13.4 находим, что t α = 2,306.
∂g 1 n n
1 X
∂L(g 1, g 2, λ) σ
По реализации z n вычисляем реализацию s 2n = (x k −x n)2 = 1,115
= √ + λp G(g 2) = 0, n
k=1
∂g 2 n
выборочной дисерсии S 2n. Теперь из (9.7) с учетом n = 9, найденного t α
где p G(x) — плотность распределения N (0; 1). Отсюда следует, что и того, что s n = 1,056, следует
p G(g 1) = p G(g 2). Так как, p G(x) = p G(−x) для всех x ∈ R1 , то либо
g 1 = g 2, либо g 1 = −g 2. Первый случай не подходит, так как Φ(g 2) − I 2 = xn − tα √
sn
6 θ 6 xn + tα √
sn
= [−1,132; 0,59]
− Φ(g 1) = 0 6= q. Отсюда заключаем, что Φ(g 2) − Φ(−g 2) = q. Таким n−1 n−1
p
образом, g 2 = u α — квантиль уровня α = 1 − , а g 1 = −u α. Подставляя
2 Итак, I 2 = [−1,132; 0,59] — искомый доверительный интервал. Заметим,
найденные g 1 и g 2 в (9.5), окончательно имеем что выборка, приведенная в условии, в действительности соответствует
θ 0 = 0 и σ 20 = 1. Видим, что оба полученных интервала “накрывают”
σ σ
P X n − uα √ 6 θ 6 X n + uα √ = q. (9.6) истинное значение θ 0 параметра θ.
n n Заметим, что I 1 и I 2, конечно, являются лишь реализациями дове-
p рительных интервалов, соответствующими конкретной реализации z n
Заметим, что из g 2 = −g 1 = u α следует, что p 1 = p 2 = . Таким выборки Z n.
2
образом, доверительный интервал (9.6) является центральным. П р и м е р 9.3. В условиях примера 9.2 построить доверительный ин-
П р и м е р 9.2. Дана реализация z n выборки Z n объема n = 9, по- тервал нажежности q = 0,95 для неизвестной дисперсии σ 2 .
рожденной СВ X ∼ N (θ; σ 2 ): z n = {1,23; −1,384; −0,959; 0,731; 0,717; − nS 2n
Р е ш е н и е. Статистика g n(σ 2 ) = является центральной для σ 2 ,
−1,805; −1,186; 0,658; −0,439}. Построить для θ доверительные интерва- σ2
лы надежности q = 0,95, если а) σ 2 = 1; б) σ 2 неизвестна. так как g n(σ 2 ) ∼ H n−1 и монотонно убывает по σ 2 . Пусть k α и k β —
p p
Р е ш е н и е. а) По условию p = 1−q = 0,05, поэтому α = 1− = 0,975. квантили χ2 -распределения H n−1 уровней, соответственно, α = и β =
2 2 2
По таблице 13.2 находим: u α = 1,96. По реализации выборки z n вычисля- p nS 2n nS n 2 nS 2n
n
1 X
= 1 − . Тогда P k α 6 2 6 k β = q. Отсюда P 6σ 6 =
ем реализацию x n = x k = −0,271 выборочного среднего X n. Теперь 2 σ kβ kα
n
k=1
= 0,95, если p = 0,05.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
