Практикум по математической статистике. Панков А.Р - 32 стр.

62                         ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ                       § 10.   § 10.                ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ                   63

надежности q для параметра θ = θ 1 − θ 2.                                                     Пусть z n = {x 1, . . . , x n}⊤ — конкретная реализация выборки Z n.
                                                                 Xn − Y n − θ             Предположим, что z n ∈ S p, тогда гипотеза H 0 отвергается на уровне
     У к а з а н и е.     Использовать   G(Z (1)   (2)
                                             n ; Z n ; θ)   =                 ,    где
                                                                      σ                   значимости p. Если же z n ∈ S p = V 0 \S p, то H 0 — принимается. Область
 2     σ 21   +   σ 22
σ =             .                                                                         S p обычно называют доверительной областью. Очевидно, что P 0(S p) =
              n
               ˆ                                  ˜      1+q
     О т в е т. X n − Y n − u ασ; X n − Y n + u ασ , α =     .                            = 1 − p = q, где q — доверительная вероятность или надежность
                                                            2                             критерия.
                                                                                              О п р е д е л е н и е 10.6. Ошибкой первого рода называется факт отвер-
                                                                                          жения гипотезы H 0 в случае, когда она верна. Принятие гипотезы H 0
                                                                                          при условии, что верна альтернатива H 1, называется ошибкой второго
              § 10. Проверка параметрических гипотез                                      рода.
                                                                                              Очевидно, что вероятность ошибки первого рода равна P 0(S p) = p,
                                                                                          т.е. совпадает с уровнем значимости критерия.
    10.1. Теоретические положения. Пусть СВ X имеет закон рас-                                Вероятность ошибки второго рода имеет вид
пределения, заданный функцией распределения F (x; θ) или плотностью                                                                                 
вероятности p(x; θ), где θ — некоторый скалярный или векторный пара-                                          β = P 1(S p) = P Z n ∈ S p | H 1— верна .
метр.
    О п р е д е л е н и е 10.1. Любое предположение о возможных значениях
параметра θ называется параметрической гипотезой.                                            О п р е д е л е н и е 10.7. Пусть H γ : θ = γ. Функция W (S p, γ) =
                                                                                                                        
    О п р е д е л е н и е 10.2. Параметрическая гипотеза, состоящая в том,                = P Z n ∈ S p | H γ — верна называется мощностью критерия.
что θ = θ 0, где θ 0 — фиксированная величина, называется простой
гипотезой.                                                                                   Если альтернатива H 1 — простая (θ = θ 1), то вероятность β ошибки
                                                                                          второго рода связана с мощностью критерия очевидным соотношением
    О п р е д е л е н и е 10.3. Параметрическая гипотеза называется слож-
                                                                                          β = 1 − W (S p, θ 1). Отсюда следует, что “хороший” критерий проверки
ной, если она состоит в том, что θ ∈ Θ 0, где Θ 0 — некоторое фиксирован-
ное подмножество, принадлежащее множеству Θ возможных значений                            H 0 должен быть устроен так, чтобы при фиксированном p мощность
параметра θ и содержащее более одной точки.                                               W (S p, θ 1) была бы как можно ближе к единице. Последнее достигает-
    Обычно         проверяемая       (основная)   гипотеза     обозначается               ся посредством выбора из множества I p всех возможных критических
H 0 : θ ∈ Θ 0, а гипотеза, обозначаемая H 1 : θ ∈ Θ 1, где Θ 1 ∈ Θ \ Θ 0,                 областей S p такой области S ∗p , что
называется альтернативой по отношению к H 0.
    О п р е д е л е н и е 10.4. Статистическим критерием называется ал-                                         W (S ∗p , θ 1) = max W (S p, θ 1).             (10.1)
                                                                                                                               S p∈I p
горитм проверки гипотезы H 0 по выборке Z n, соответствующей распре-
делению F (x; θ), θ ∈ Θ.
    Рассмотрим общую структуру статистического критерия. Пусть V 0 —                         Критерий, соответствующий критической области S ∗p , называется
множество всех возможных значений вектора Z n в предположении, что                        наиболее мощным. В некоторых частных случаях область S ∗p существует
H 0 — верна. Выберем малое положительное число p ∈ (0; 1) и область                       и может быть найдена аналитически (см. далее теорему 10.1).
S p ∈ V 0 такую, что                                                                         Обычно на практике критическую область S p задают неявно с помо-
                                                                                        щью некоторой статистики критерия T (Z n). Пусть ∆ p — область на
                         P 0(S p) = P Z n ∈ S p | H 0— верна = p.                         R1 такая, что                              
                                                                                                              P T (Z n) ∈ ∆ p | H 0— верна = p.
   О п р е д е л е н и е 10.5. Число p называется уровнем значимости кри-
терия, а множество S p — критической областью уровня p.                                      Тогда критическая область S p определяется так: