ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
80 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ § 12.
Отсюда (A
n
H
n
− I) θ = 0. Последнее в силу произвольности θ означает,
что
A
n
H
n
= I.
Заметим, что
b
θ
n
= A
n
0
Z
n
, где A
n
0
= W
n
−1
H
n
⊤
, пр ичем
M
n
b
θ
n
o
= W
n
−1
H
n
⊤
H
n
θ + W
n
−1
H
n
M{E
n
} = W
n
−1
W
n
θ = θ.
Таким образом,
b
θ
n
— линейная несмещенная оценка. Отсюда следует,
что A
n
0
H
n
= I. Обозначим T
n
= A
n
− A
n
0
.
T
n
H
n
= (A
n
− A
n
0
)H
n
= A
n
H
n
− A
n
0
H
n
= I − I = 0.
Отсюда T
n
A
n
0
⊤
= T
n
H
n
W
n
−1
= 0.
Найдем ковариационную матрицу
e
K
n
ошибки ∆
e
θ
n
=
e
θ −θ оценки
e
θ
n
.
Заметим, что
e
θ
n
= θ + A
n
E
n
. О тсюда
e
K
n
= M
∆
e
θ
n
∆
e
θ
n
⊤
= M
n
A
n
E
n
(A
n
E
n
)
⊤
o
=
= A
n
M
E
n
E
n
⊤
A
n
⊤
= σ
2
A
n
A
n
⊤
.
Учитывая, что A
n
= A
n
0
+ T
n
и T
n
A
n
0
⊤
= 0, получаем
e
K
n
= σ
2
A
n
0
+ T
n
A
n
0
+ T
n
⊤
= σ
2
A
n
0
A
n
0
⊤
+ T
n
A
n
0
⊤
+
+
T
n
A
n
0
⊤
⊤
+ σ
2
T
n
(T
n
)
⊤
= σ
2
A
n
0
A
n
0
⊤
+ σ
2
T
n
(T
n
)
⊤
>
b
K
n
,
где
b
K
n
= σ
2
A
n
0
A
n
0
⊤
= σ
2
W
n
−1
— ковариационная матрица ошибки
∆
b
θ
n
=
b
θ
n
− θ МНК-оценки
b
θ
n
, а σ
2
T
n
(T
n
)
⊤
> 0 при любой величине
матрицы T
n
. Итак, наименьшей ковариационной матрицей ошибки среди
всех линейных несмещенных оценок обладает МНК-оценка
b
θ
n
.
П р и м е р 12.3. Линейная функция ϕ(t; θ) = θ
1
+ θ
2
t измеряется в
дискретные м оменты {t
k
} по схеме
X
k
= ϕ(t
k
; θ) + ε
k
, k = 1, . . . , 5.
Случайные ошибки измерений {ε
k
} — независимые центрированные
гауссовские СВ с дисперсией σ
2
= 0,01. Результаты наблюдений {x
k
}
приведены в таблице 12.1.
§ 12. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 81
Таблица 12.1
k 1 2 3 4 5
t
k
0 1 2 3 4
x
k
−1,10 1,15 3,20 4,85 7,10
Найти МНК-оценку bϕ(t; θ) наблюдаемой функции.
Р е ш е н и е. По условию ϕ(t; θ) = h
⊤
(t)θ, где h
⊤
(t) = {1; t}. Поэтому
h
⊤
(t
k
) = {1; t
k
}. Отсюда
W
n
= H
n
⊤
H
n
=
n
n
X
k=1
t
k
n
X
k=1
t
k
n
X
k=1
t
k
2
=
5 10
10 30
.
H
n
⊤
z
n
=
n
X
k=1
x
k
n
X
k=1
t
k
x
k
=
"
15,2
50,5
#
, где z
n
= {x
1
, . . . , x
n
}
⊤
— реализация
выборки Z
n
, пр иведенная в таблице 12.1.
Реализация МНК-оценки вектора θ = {θ
1
; θ
2
}
⊤
имеет вид
b
θ
n
= W
n
−1
H
n
⊤
z
n
=
0,6 −0,2
−0,2 0,1
·
"
15,2
50,5
#
=
"
−0,98
2,01
#
.
Согласно принципу и нвариантности
bϕ(t; θ) = ϕ(t;
b
θ
n
) = h
⊤
(t)
b
θ
n
= −0,98 + 2,01t.
П р и м е р 12.4. В условиях примера 12.3 найти закон распределения
оценки bϕ(t; θ) полезного сигнала и построить доверительный интервал
надежности q = 0,95 для ϕ(t; θ) в момент t = 5.
Р е ш е н и е. Так как bϕ(t; θ) = h
⊤
(t)
b
θ
n
, то
M{bϕ(t; θ)} = h
⊤
(t)M
n
b
θ
n
o
= h
⊤
(t)θ,
D{bϕ(t; θ)} = h
⊤
(t)
b
K
n
h(t) = σ
2
h
⊤
(t)W
n
−1
h(t),
6 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
80 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ § 12. § 12. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 81
Отсюда (A nH n − I) θ = 0. Последнее в силу произвольности θ означает, Таблица 12.1
что k 1 2 3 4 5
A nH n = I. tk 0 1 2 3 4
xk −1,10 1,15 3,20 4,85 7,10
Заметим, что θbn = A 0nZ n, где A 0n = W −1 ⊤
n H n , причем
n o Найти МНК-оценку ϕ(t; b θ) наблюдаемой функции.
M θbn = W −1 ⊤ −1 −1
n H n H nθ + W n H nM{E n} = W n W nθ = θ. Р е ш е н и е. По условию ϕ(t; θ) = h⊤ (t)θ, где h⊤ (t) = {1; t}. Поэтому
⊤
h (t k) = {1; t k}. Отсюда
Таким образом, θbn — линейная несмещенная оценка. Отсюда следует,
что A 0nH n = I. Обозначим T n = A n − A 0n. n
X
n tk
5 10
T nH n = (A n − A 0n)H n = A nH n − A 0nH n = I − I = 0. W n = H n⊤ H n =
n
k=1
n
=
.
X X 10 30
⊤ tk t 2k
Отсюда T n A 0n = T nH nW −1 n = 0.
k=1 k=1
Найдем ковариационную матрицу K e ошибки ∆θe = θe − θ оценки θe . n
n n n X
Заметим, что θen = θ + A nE n. Отсюда xk " #
15,2
H⊤ k=1 = , где z n = {x 1, . . . , x n}⊤ — реализация
⊤ n o n zn = Xn
e = M ∆θe ∆θe ⊤ t kx k 50,5
K n n n = M A E
n n (A E
n n) =
k=1
выборки Z n, приведенная в таблице 12.1.
= A nM E nE ⊤ ⊤ 2 ⊤
n A n = σ A nA n .
Реализация МНК-оценки вектора θ = {θ 1; θ 2}⊤ имеет вид
⊤
Учитывая, что A n = A 0n + T n и T n A 0n = 0, получаем " 15,2 # " −0,98 #
0,6 −0,2
e = σ2 A 0 + T
⊤
0 ⊤
0 ⊤ θbn = W −1 ⊤
n H n zn = · = .
K n n n A 0n + T n = σ 2 A 0n A n + T n A n + −0,2 0,1 50,5 2,01
⊤ ⊤ ⊤
+ T n A 0n b ,
+ σ 2 T n(T n)⊤ = σ 2 A 0n A 0n + σ 2 T n(T n)⊤ > K Согласно принципу инвариантности
n
где Kb = σ 2 A 0 A 0 ⊤ = σ 2 W −1 — ковариационная матрица ошибки b θ) = ϕ(t; θbn) = h⊤ (t)θbn = −0,98 + 2,01t.
ϕ(t;
n n n n
∆θbn = θbn − θ МНК-оценки θbn, а σ 2 T n(T n)⊤ > 0 при любой величине
матрицы T n. Итак, наименьшей ковариационной матрицей ошибки среди
П р и м е р 12.4. В условиях примера 12.3 найти закон распределения
всех линейных несмещенных оценок обладает МНК-оценка θbn. оценки ϕ(t;
b θ) полезного сигнала и построить доверительный интервал
П р и м е р 12.3. Линейная функция ϕ(t; θ) = θ 1 + θ 2t измеряется в надежности q = 0,95 для ϕ(t; θ) в момент t = 5.
дискретные моменты {t k} по схеме
b θ) = h⊤ (t)θbn, то
Р е ш е н и е. Так как ϕ(t;
X k = ϕ(t k; θ) + ε k, k = 1, . . . , 5. n o
b θ)} = h⊤ (t)M θbn = h⊤ (t)θ,
M{ϕ(t;
Случайные ошибки измерений {ε k} — независимые центрированные
гауссовские СВ с дисперсией σ 2 = 0,01. Результаты наблюдений {x k}
приведены в таблице 12.1. D{ϕ(t; b h(t) = σ 2 h⊤ (t)W −1 h(t),
b θ)} = h⊤ (t)K n n
6 А.Р. Панков и Е.Н. Платонов
