Физика проводников и диэлектриков. Плотников В.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

E E
0 0
a
π
−
a
π
+
k
k
зона
1

зона
2
зона
2
)
а
)
б
Рис. 5.2
В приближении слабой связи считают, что энергия взаимодействия электронов с атомами решетки
значительно меньше их кинетической энергии. Тогда можно считать электроны свободными и исполь-
зовать для их описания уравнение Шредингера, но с учетом периодичности поля кристаллической ре-
шетки.
В данном случае также обнаруживается зонная энергетическая структура, которая следует непосред-
ственно из решения уравнения Шредингера.
Для электрона, движущегося в периодическом силовом поле, данное уравнение, в случае одномер-
ного движения вдоль оси
x
, запишется в виде
[]
0)(
2
22
2
=ψ−+
ψ
xUE
m
dx
d
h
, (5.1)
где −)(xU потенциальная энергия электрона, периодически изменяющаяся в соответствии с периодом
кристаллической решетки.
Соответственно периодически изменяется и амплитуда волновой функции )(xψ .
Блох доказал, что решение уравнения Шредингера в данном случае имеет вид
ikx
exux )()( =ψ , (5.2)
где −)(xu функция с периодичностью потенциала;
−
k волновой вектор
λ
π
=
2
k .
Решения вида (5.2) называются функциями Блоха.
Дальнейший теоретический анализ позволил получить так называемые дисперсионные соотноше-
ния для свободных электронов и электронов, движущихся в периодическом поле. Это зависимости
энергии электронов от импульса )(pE или от волнового вектора )(kE .
На рис. 5.2, а графически показана дисперсионная кривая для свободных электронов. Энергия в
данном случае изменяется квазинепрерывно, кривая
состоит из близко расположенных отдельных точек, на
рисунке сливающихся друг с другом.
На рис. 5.2, б отображена дисперсионная
зависимость при движении электрона в периодическом
поле, на которой явно прослеживается зонная энергетическая
структура. Сплошными линиями показаны зоны
квазинепрерывного изменения энергии, т.е. разрешенные
зоны, чередующиеся с запрещенными зонами, энергия
которых не может быть реализована. Здесь же показаны и так
называемые зоны Брил- люэна – это области k-пространства, в
пределах которых энергия электронов изменяется
квазинепрерывно. На границах этих зон энергия испытывает разрыв. На рисунке представлена одно-
мерная картина. В трехмерном же пространстве зоны Бриллюэна ограничены замкнутыми многогран-
ными поверхностями, вложенными друг в друга.
Важной характеристикой металла является также поверхность Ферми – изоэнергетическая поверх-
ность в k- или p- пространстве с энергией, равной энергии Ферми. Для свободных электронов – это сфе-
рическая поверхность, для электронов проводимости металлов – имеет сложную форму.
Оба приближения сильной и слабой связи электронов со своими атомами дают аналогичные резуль-
таты. В обоих случаях возникают разрешенные и запрещенные энергетические зоны. Различие только в
их ширине. В модели сильной связи – узкие разрешенные зоны и широкие запрещенные. Во второй мо-
дели – наоборот.
В реальных кристаллах можно обнаружить как данные предельные случаи, так и промежуточные.
5.2 Заполнение зон электронами.
Металлы, диэлектрики и полупроводники
Одним из важнейших достижений зонной теории явилось объяснение различий электрических
свойств твердых тел.
Более ранние теории пытались объяснить наличие и отсутствие электропроводности высокой или
низкой подвижностью электронов. Однако в реальных диэлектриках могут существовать электроны с

Страницы