Физика проводников и диэлектриков. Плотников В.П. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
3
2
3
3
)2(
3
8
mE
h
n
F
π
=
, (4.22)
откуда определим энергию Ферми
3
2
2
8
3
2
π
=
n
m
h
E
F
. (4.23)
Функция распределения )(Ef очень слабо зависит от температуры. Ее вид при KT 0≠ представлен
на рис. 4.3. Спад зависимости от единицы до нуля происходит в узком интервале энергий порядка kT с
центром в точке
F
E . Чем выше
температура, тем более полого идет
данный участок кривой.
Из выражения (4.3) следует,
что при
F
EE = для любой
температуры, отличной от
абсолютного нуля )0( KT ≠ , функция
распределения
2
1
)(
=Ef , т.е.
вероятность заполнения уровня
Ферми равна 50 %.
Тепловому возбуждению подвержено небольшое количество
электронов с Е <
F
E , располагающихся на уровнях, прилегающих к уровню Ферми и в результате пере-
ходящих на уровни с Е >
F
E .
Теоретически можно показать, что число таких электронов составляет при комнатной температуре
менее 1 % от общего числа свободных электронов.
Расчеты показывают, что и энергия Ферми слабо зависит от температуры. Поэтому в большинстве
случаев для описания электронного газа металлов принимают ее значение при абсолютном нуле.
Следует помнить, что электронный газ в металлах в реальных условиях всегда является вырожден-
ным и должен описываться квантовой статистикой Ферми-Дирака. Для снятия вырождения необходима
температура ∼10
5
К, при которой металл в конденсированном состоянии существовать не может.
4.3 МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ ЗОММЕРФЕЛЬДА
А. Зоммерфельдом в 1928 году на основе квантовой статистики Ферми-Дирака была разработана
квантовая электронная теория проводимости металлов, в которой, в частности, использовались выраже-
ния (4.3) функции распределения и (4.17) плотности состояний.
Выше было отмечено, что тепловому возбуждению подвергается только малая часть свободных
электронов с энергией, близкой к энергии Ферми. Зоммерфельдом это положение было отнесено и к
электронам, ответственным за электропроводность. В остальном использовались те же основные поло-
жения теории Друде-Лоренца и рассматривался электронный перенос, аналогичный проанализирован-
ному Лоренцем (см. п.3.4).
В результате применения квантовой статистики Зоммерфельд получил выражение для электропро-
водности
F
F
mv
en λ
=σ
2
0
, (4.24)
где
F
λ
и
F
v – средняя длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми и их ско-
рость соответственно.
Формула (4.24) аналогична формуле (3.10) классической теории Друде, но по смыслу существенно
от нее отличается. В знаменателе вместо средней скорости теплового движения электронов стоит не за-
висящая от температуры скорость электронов, обладающих энергией Ферми
()
2
1
/2 mEv
FF
= ∼ 10
6
м/с. (4.25)
Величина этой скорости весьма велика, что совершенно не объяснимо с позиций классической тео-
рии, согласно которой при абсолютном нуле температуры всякое движение замирает.
Данный факт подчеркивает, что энергия Ферми имеет чисто квантовый характер и не является энер-
гией теплового движения электронов.
В формуле (4.24) величиной, зависящей от температуры, оказывается только средняя длина свобод-
ного пробега электронов
F
λ . И для получения реальных значений электропроводности необходимо, как
∼
kT
0
2
1
1
E
F
E
)( E f
. 4.3

Страницы