Электронные методы обработки информации. Плотникова С.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

x
x
exy
ln4
2
1
)(
++
=
В качестве примера рассмотрим, как использовать метод наименьших квадратов при нахождении
параметров модели
ax
bexy =)(
. Для этого найдем минимум функции двух переменных
∑
=
−=
n
i
i
ax
ybebaS
i
1
2
)(),( . Здесь n – количество заданных упорядоченных пар точек (x
i
, y
i
). Применяя необ-
ходимое условие экстремума, получим систему:
=−
=−
⇔
=
=
∑
∑
=
=
.0)(2
;0)(2
,0
;0
1
1
'
'
n
i
ax
i
ax
n
i
ax
ii
ax
b
a
ii
ii
eybe
ebxybe
S
S
Упрощая ее, приходим к выводу о невозможности выразить в явном виде неизвестное b через неиз-
вестное
a
, хотя полученная система разрешима.
Попытаемся обойти возникшие препятствия. Для этого попробуем каким-либо образом преобразо-
вать данные. Так, например, легко заметить, что
)ln(ln)ln(
axax
ebbe +=
. Так как
axe
ax
=)ln(
, то
axbbe
ax
+= ln)ln( . Обозначив bB ln= , получим линейную зависимость Baxbe
ax
+=)ln( . Значит, если ис-
ходные данные «хорошо ложились» на кривую
ax
bey = , то преобразованные данные вида )ln,(
ii
yx
должны «окучить» прямую
baxxy ln)( += . Поэтому для нахождения параметров a и b можно воспользо-
ваться формулами для линейной регрессии:
,ln;
∆
∆
=
∆
∆
=
ba
ba
где ;
ln
ln
;
ln
ln
11
11
2
1
11
∑∑
∑∑
∑
∑∑
==
==
=
==
=∆=∆
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
b
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
a
yx
yxx
ny
xyx
.
2
11
2
1
11
2
−==∆
∑∑
∑
∑∑
==
=
==
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xxn
nx
xx

Страницы