Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Выше был рассмотрен метод замены переменной подведением под знак
дифференциала для нахождения
, существует и метод замены
переменной выведением из под знака дифференциала, применение которого мы
рассмотрим ниже.
∫
dxxf )(
Примеры. Найти интегралы:
1. =
+
−=
+
−
=
−==
=
+
∫∫∫
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
;
1
заменуСделаем
1
t
t
t
dt
t
t
dt
t
dt
t
dx
t
x
xx
dx
=
<−
=
>
=
<−
>
==
+
−=
∫
0если,1
0если,0
0если,1
sgn
;0если,1
,0если,1
||
||
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt
dt
C
x
x
xCttt
t
dt
t +++⋅−=+++⋅−=
+
−=
∫
1
11
lnsgn1lnsgn
1
sgn
2
2
2
.
Замечание – Обычно в окончательном ответе sgn x опускается и
записывается
C
x
x
xx
dx
+++−=
+
∫
1
11
ln
1
2
2
.
Далее мы тоже будем опускать sgn x, т.к. при нахождении не
оговаривается, для каких значений х находится этот интеграл, а т.к. в этом
разделе мы изучаем способы нахождения первообразных, то будем считать, что
первообразная находится для значений x
> 0 и в том случае sgn x = 1.
()
∫
dxxf
2. =
+
−
+
=
+
=
+
=
==
∫∫
1
виде в ляемпредстав
1
дробь этого для
,разложения метод Применяем
1
1
заменуСделаем
2
2
3
2
3
2
3
t
t
t
t
t
dt
t
t
t
dt
dx
tarctgxdxxtg
=++−=
+
−=
+
−=
∫∫∫
Ctt
t
dtt
dttdt
t
t
t 1ln
2
1
2
1
11
22
22
11
      Выше был рассмотрен метод замены переменной подведением под знак
дифференциала для нахождения ∫ f ( x ) dx , существует и метод замены
переменной выведением из под знака дифференциала, применение которого мы
рассмотрим ниже.

               Примеры. Найти интегралы:
                                                                  1
                              Сделаем замену                  −        dt
               dx                                                 dt
                                                                  t2
1.    ∫                  =       1         1
                              x = ; dx = − 2 dt
                                                =∫
                                                   1    1
                                                          = −∫        =
          x 1 + x2               t                   1+ 2
                                                                   2
                                                                 t +1
                                          t                    t
                                                   t   t           t2

                                                    1, если t > 0
                     t 1, если t > 0 ,
                    dt                              
     = −∫        =      =                  sgn t = 0, если t = 0 =
          t t2+1   | t | − 1, если t < 0 ;         − 1, если t < 0
                                                    
            |t |

                         dt                                                        1       1
     = − sgn t ∫                 = − sgn t ⋅ ln t + t 2 + 1 + C = − sgn x ⋅ ln       +          +1 + C.
                         2
                         t +1                                                      x      x2


      Замечание – Обычно в окончательном ответе sgn x опускается и
                 dx           1   1
записывается ∫          = − ln +     +1 + C .
                              x    2
               x 1+ x 2          x

               Далее мы тоже будем опускать sgn x, т.к. при нахождении                          ∫ f (x ) dx   не
оговаривается, для каких значений х находится этот интеграл, а т.к. в этом
разделе мы изучаем способы нахождения первообразных, то будем считать, что
первообразная находится для значений x > 0 и в том случае sgn x = 1.


                                                                       Применяем метод разложения,
                          Сделаем замену
                                                      t3                                  t3
2. ∫ tg x dx = x = arctg t
           3
                                                =∫            dt = для этого дробь                            =
                                                     t 2 +1                              t2+1
                                   dt
                          dx =                                                                       t
                                 1+ t2                                 представ ляем в виде t −
                                                                                                   t2 +1

                t                 t dt  1     1
      = ∫  t − 2  dt = ∫ t dt − ∫ 2    = t 2 − ln t 2 + 1 + C =
           t + 1                 t +1 2       2
                  

                                                                                                              11

Страницы